FÍSICA PARA CURIOSOS – IFGW – UNICAMP – CAMPINAS – SP

Abaixo e-mail de divulgação enviado pelo Instituto de Física da Unicamp…
Participem, divulguem, compartilhem…


Em continuidade ao projeto Física para Curiosos, promovido pelo Instituto de Física “Gleb Wataghin” – IFGW, no dia 04 de Maio, às 19 horas, no Auditório do IFGW, será realizado o colóquio do Diretor Científico da Fapesp Prof. Carlos Brito Cruz.

O título será “Como o progresso da Ciência e da Pesquisa beneficia a sociedade”.

Por que a pesquisa é importante ? Como ela pode beneficiar a sociedade ?
Como os governos analisam a relação entre conhecimento e aplicação em
prol da sociedade ? Venha aprender em interessante palestra com o
Diretor Científico da Fapesp Prof. Carlos Brito Cruz.

Física para curiosos é uma iniciativa do Instituto de Física “Gleb Wataghin” com o objetivo de apresentar temas atuais em Física para o público em geral. Participe! Entrada gratuita.

Mais informações:
Site do evento: https://sites.ifi.unicamp.br/fisica-para-curiosos/
Evento do Facebook: https://www.facebook.com/events/2089561127967565/


Materiais 2018

Aqui está um link de todo material que consegui organizar em meu pc.

Tem todo o material que utilizei no ano passado em aulas; algumas poucas apresentações com resolução de exercícios e ou teoria e mais alguns exercícios.

Compactado em arquivo .rar, então recomendo que baixe de um pc.

Se quiser os arquivos, posso passar o link para baixar os principais, pois criar um link para cada seria muito trabalhoso.

 

Espero que ajude

 

Aqui está o link:

http://professordanilo.com/teoria/Downloads/2018/2018.rar

 

 


Curso Completo de Eletromagnetismo – Graduação – UFSM

Curso completo de eletromagnetismo da Universidade Federal de Santa Maria.

Playlist da Univesp sobre Física Moderna

Recomendo assistirem a playlist a seguir, sejam professores, alunos ou curiosos. Mesmo que apenas para conhecer um pouco mais sobre essa magnífica área do conhecimento humano.

 

Artigo interessante sobre cosmologia

“100 Anos da Cosmologia Relativística (1917–2017). Parte I: Das Origens à Descoberta da Expansão Universal (1929)”

Veja Resumo em

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1806-11172018000100412&lng=en&nrm=iso&tlng=pt

Baixe pdf em

http://www.scielo.br/pdf/rbef/v40n1/1806-1117-rbef-40-01-e1313.pdf

 





Algumas novidades para 2017

2017 será o ano em que irei, se tudo der certo, finalizar o mestrado e, portanto, não será menos corrido.

Porém pretendo dedicar algumas horas semanais para aulas à distância.

Pretendo utilizar uma plataforma no meu site, com possibilidade de compartilhamento de tela, chamado BigBlueButton. Em breve disponibilizarei meus horários.

 

Não é algo ambicioso, portanto será acessível.

Talvez resoluções de exercícios ou algo similar…

 

 

Feliz 2017 e que o ano esteja preparado para nós!!!


Link externo – Lista extra de Condutores em Equilíbrio Eletrostático

http://fisicaevestibular.com.br/novo/eletricidade/eletrostatica/1664-2/exercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-condutor-em-equilibrio-eletrostatico-blindagem-eletrostatica/

 

É uma lista que achei bem bacana e bem puxadinha, então vale a pena fazê-la.


Listas Desafio

Para os que gostam de física e topam aqueles exercícios realmente difíceis, tipo Ita-Ime, vai o link de um site que contém vários destes exercícios:

http://dadosdedeus.blogspot.com.br/

É um bom site, com materiais muito bons, pena que o seu proprietário parou de alimentá-lo, pelo menos é o que parece, pois há anos que não há novos posts.


Lista 2 – Eletromag – 2 sem 2016 – Q1. Uma partícula carregada com carga $q$…

Q1. Uma partícula carregada com carga q, move-se ao longo do eixo z com velocidade constante v. Suas coordenadas são

$$x(t)=0,\;\;\;\;\;y(t)=0,\;\;\;\;\;,z(t)=vt$$

Prove que os potenciais $$\phi$$ e A, no calibre de Lorenz, é

$$\phi=\frac{q}{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(z-vt\right)^2}},\;\;\;\;\;\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{v}}{c}\phi$$

Note que a solução é dada apenas pelas variáveis x, y e z-vt. (Uma
partícula em movimento uniforme não é muito diferente de uma partícula
em repouso).


1. Para um átomo de hidrogênio…

Para um átomo de hidrogênio, temos que o potencial eletrostático (uma média temporal), é:

$$\phi=\frac{q}{a\pi\varepsilon_0}\frac{e^{-\alpha r}}{r}\left(1+\frac{\alpha r}{2}\right)$$

onde $q$ é a magnitude da carga elétrica, e $\alpha^{-1}=a_0/2, onde $a_0$ é o raio de Bohr. Encontre qual a distribuição de carga que produz este potencial, e interprete seu resultado físico. (Dica: A distribuição de carga, terá dois termos, um contínuo e outro discreto.)

Esta estou ainda tentando resolver…

 

 


2. Verifique as identidades:

Verifique as identidades:

  1. $$\vec A \times (\vec B \times \vec C)+\vec B \times (\vec C \times \vec A)+\vec C \times (\vec A \times \vec B)=0$$
  2. $$\vec\nabla\times (\vec A\times \vec B)=\vec A\times (\vec\nabla\times\vec B)-\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A) -(\vec A\times\vec\nabla)\times\vec B+(\vec B \times\vec\nabla)\times\vec A$$
  3. $$\vec\nabla\times(\lambda\vec B\times\vec A)=\lambda\left(\vec B\cdot(\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)\right) -(\vec A\times \vec B)\cdot\vec\nabla\lambda$$

Em resolução…


3. Dada a equação de Laplace para o…

Dada a equação de Laplace para o potencial eletrostático em 2 dimensões, explique por que ela não admite soluções estáveis.

Usando um argumentos puramente físicos:

$$\nabla^2\phi=0\Leftrightarrow \vec \nabla \cdot \vec E = 0$$

Isto é, estamos estudando pontos do espaço onde não existem cargas. Assim, seja um distribuição discreta de $n$ cargas cada uma com carga $q_i$. Analisando duas a duas, por exemplo, as cargas $q_i$ e $q_j$, elas nunca poderão estar em equilíbrio, pois se repelirão se tiverem mesmo sinal ou se afastarão se forem de sinais opostos (lembre-se de que estamos estudando estas cargas duas a duas).

Para melhorar este argumento: vamos imaginar o espaço vazio e nele colocamos uma carga $q_1$; quando colocamos uma segunda carga $q_2$ não existirá posição de equilíbrio estável; colocando agora $q_3$, também não haverá posição de equilíbrio estável, e assim por diante.

 

OBS: na verdade, não respondi ainda de forma satisfatória esta questão. Pensei, por exemplo, em duas cargas com mesma carga. A linha que conecta ambas as cargas não teria um potencial mínimo em seu ponto médio? Isso não contraria não haver pontos de mínimo ou máximo? Onde está o erro?


5. Uma carga $e$ move-se sobre a influência…

Uma carga $e$ move-se sobre a influência dos campos $\vec E$ e $\vec B$ uniformes, no vácuo. Assuma que $\vec E \cdot \vec B = 0$ e $\vec v \cdot \vec B = 0$. A que velocidade a carga move-se sem aceleração? Qual a sua velocidade quando $|\vec E | = |\vec B|$?

Não foi dito no enunciado que o capo elétrico e magnético são estáticos no tempo, isto é, são campos uniformes, mas poderiam ser variáveis. Podemos eliminar esta possibilidade usando duas equações de Maxwell. São elas:

$$\vec \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

$$\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial  t}$$

Consideramos o vácuo e que, portanto, a densidade de corrente $\vec J = 0$.

Com os dados do enunciado, podemos escolher, sem perda de generalidade, os seguintes vetores para o campo elétrico, magnético e velocidade:

$$\vec E = E \hat i$$

$$\vec B=B \hat j$$

$$\vec v = v_x \hat i+v_z \hat k$$

Note que isto satisfaz $\vec E \cdot \vec B = 0$ (campos magnéticos e vetoriais perpendiculares), $\vec v \cdot \vec B$ (velocidade perpendicular ao campo magnético). Calculando a força de Lorentz:

$$\vec F = q \left ( \vec E + \vec v \times \vec B \right )$$

Vamos às perguntas. Primeira parte:

A que velocidade a carga move-se sem aceleração?

Façamos $\vec F=0$:

$$0 = q \left ( \vec E + \vec v \times \vec B \right )\Rightarrow$$

$$0=E\hat i +(0-v_z B)\hat i+(0-0)\hat j + (v_x B -0)\hat k$$

$$\left\{\begin{matrix}
0&=&E-v_z B \\
0&=&v_x B
\end{matrix}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}
v_z=\frac E B \\
v_x =0
\end{matrix}\right.$$

Ou seja:

$$\boxed{\vec v=\frac E B \hat k}$$

Segunda parte do enunciado:

Qual a sua velocidade quando $|\vec E | = |\vec B|$?

Voltemos à equação de Lorentz:

$$\vec F = q \left ( \vec E + \vec v \times \vec B \right )\Rightarrow$$

$$m \vec a=E\hat i +(0-v_z B)\hat i+(0-0)\hat j + (v_x B -0)\hat k$$

$$\left\{\begin{matrix}
m \ddot x = q(E -\dot z B)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(1)\\ \ddot y=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(2)\\
m \ddot z = q\dot x B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(3)
\end{matrix}\right. $$

Integrando no tempo, assumindo $t_0 =0$ e velocidades iniciais com subíndice $0$:

$$\left\{\begin{matrix}
\dot x = \frac q m (Et-zB)+v_{0x}\;\;\;\;\;\;eq.(4)\\
\dot y = v_{0y}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(5)\\
\dot z=\frac q m x B +v_{0z}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(6)
\end{matrix}\right.$$

Substituindo (6) em (1):

$$m\ddot x=q\left ( E-\frac q m x B ^2 -v_{0z}B\right )\Rightarrow \ddot x=-\frac {q^2}{ m^2} B^2 x+ \frac q m \left(E-v_{0z}B\right )$$

 

A solução da parte homogênea é uma função periódica, isto é:

$$x_{homo}=x_M \sin \left(\frac{qB}{m}t\right)$$

Para encontrar a solução geral, temos que somar uma constante, isto é, $$x=x_{homo}+C$$ Derivando duas vezes e jogando na equação diferencial de $x$ temos:

$$-\frac {q^2B^2}{ m^2}x_M\sin\left(\frac{qB}{m}t\right)=-\frac {q^2B^2}{ m^2} x_M\sin\left(\frac{qB}{m}t\right) -\frac {q^2B^2}{ m^2} C+ \frac q m \left(E-v_{0z}B\right )\Rightarrow$$

$$\frac {q^2B^2}{ m^2} C= \frac q m \left(E-v_{0z}B\right )\Rightarrow C=\frac {m}{qB}\left(E-v_{0z}B\right )$$

$$\therefore\boxed{x=x_M \sin \left(\frac{qB}{m}t\right)+\frac {m}{qB^2}\left(E-v_{0z}B\right )}$$

Fazendo o mesmo procedimento, mas agora substituindo (4) em (3), obtemos:

$$\ddot z=-\frac {q^2B^2}{ m^2}z+\frac {q^2BE}{ m^2} t+ qBv_{0x}$$

A solução será do tipo:

$$x=x_{homo}+C_1 t+C_2 $$

sendo $C_1$ e $C_2$ duas constantes. Derivando duas vezes, substituindo nesta equação, usando a identidade de polinômios obtemos $C_1$ e $C_2$ e a solução final, que é:

$$\boxed{z=z_M \sin \left(\frac{qB}{m}t\right)-\frac {q^2BE}{m^2}t-qBv_{0x}}$$

Assim, a velocidade em função do tempo será dada pela derivada estas posições, ou seja:

$$v=-v_{0x}\cos\left(\frac{qB}{m}t\right) \hat i + v_{oy} \hat j-\left(v_{0z}  \cos \left(\frac{qB}{m}t\right)   +\frac {q^2BE}{m^2} \right)\hat k$$


Equações de Maxwell e equação da onda eletromagnética

Como chegar na equação da onda usando as equações de Maxwell?

Primeiro vamos relembrar a equação da onda: $$\frac{1}{v^2}\frac{\rm d^2 Y}{\rm d t^2}=\nabla ^2 Y$$

Sendo $$v$$ a velocidade de propagação da onda.

Vamos escrever as equações de Maxwell:

  1. $$\vec \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
  2. $$\vec \nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
  3. $$\vec\nabla\cdot\vec B=\vec 0$$
  4. $$\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$$

Vamos precisar de algum conhecimento de calculo vetorial. Mas a propriedade mais importante é a que se segue:$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec A)=\vec\nabla ( \vec\nabla \cdot A)-\nabla^2\vec A$$

Para começar, vamos aplicar o rotacional na segunda equação de Maxwell:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla ( \vec\nabla \cdot E)-\nabla^2\vec E =-\vec\nabla\times\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

Pela primeira equação, temos:

$$\vec\nabla \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)-\nabla^2\vec E =-\frac{\partial }{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B)$$

Se estivermos estudando um ponto distante de qualquer carga, isto é, se estivermos estudando apenas a relação entre a variação do campo magnético com a alteração do campo elétrico, podemos considerar que não existe cargas no ponto de estudo e portanto $$\vec\nabla \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)=\vec 0$$ Assim:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B)$$

Usando agora a quarta equação de Maxwell, temos:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)$$

Mais uma vez, se estivermos em um ponto distante de qualquer carga, a densidade de corrente também é nula: $$\vec j = \vec 0$$ Portanto:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$

Comparando com a equação da onda:

$$\frac{1}{v^2}\frac{\rm d^2 Y}{\rm d t^2}=\nabla ^2 Y$$

$$\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=\nabla^2\vec E $$

Vemos que a velocidade da “onda elétrica” ve é $$v_e^2=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Assim, podemos reescrever a equação acima:

$$\frac{1}{v_e^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=\nabla^2\vec E $$


 

Usando agora este mesmo processo para calcular a velocidade da “onda magnética” vm, começamos tomando o rotacional do rotacional do campo magnético:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\vec\nabla\times\left(\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)\Rightarrow$$

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\mu_0\vec\nabla\times \vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(\vec\nabla\times\vec E\right)$$

Novamente, tomando $$\vec j =\vec 0$$ e usando a segunda equação de Maxwell:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(-\frac{\partial \vec B}{\partial t} \right)=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

Agora, vamos trabalhar o lado esquerdo da equação anterior:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot \vec B)-\nabla^2\vec B=-\nabla^2\vec B$$

Note que a última passagem se deve a terceira equação de Maxwell. Portanto:

$$-\nabla^2\vec B=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

Esta é a equação da “onda magnética”:

$$\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}=\nabla^2\vec B\Rightarrow$$

$$\frac{1}{v_m^2}\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}=\nabla^2\vec B$$

Observe que as ondas “magnéticas” e “elétricas” possuem a mesma velocidade:

$$v_e^2=v_m^2=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Isto sugere que as ondas elétricas e magnéticas se propagam juntas formando a onda eletromagnética de velocidade c=ve=vm. Portanto, podemos escrever as equações da onda para o campo magnético e elétrico como se segue:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rm d^2 \vec E}{\rm d t^2}=\nabla ^2 \vec E$$

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rm d^2 \vec B}{\rm d t^2}=\nabla ^2 \vec B$$

$$\rm{sendo} \;\;\;\;\;\;c=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Note que trocamos as derivadas parciais por derivadas totais sem prejuízo algum.


Aulas Online de Eletrodinâmica

Achei vídeo aulas no youtube do livro do Grifths de Eledodinâmica

Aula 1 de eletrodinâmica

Sejam $$\vec\nabla\times\vec A = \vec C\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.01)$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A = S \;\;\;\;\;\;\;\;(eq.02)$$

Por consistência $\vec\nabla \cdot \vec C =0$. Para que $\vec A$ seja único, temos que $\vec A$ pode ser escrito como:

$$\vec A = -\nabla \phi +\vec\nabla \times \vec F\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.03)$$

onde $$\phi=\frac{1}{4\pi}\int\frac{S(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.04)$$ e $$\vec F=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\vec{C}(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.05)$$

Vamos verificar se estas duas últimas relações satisfazem as condições iniciais para o campo vetorial $\vec A$.. Primeiro, vejamos para o divergente:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =\vec\nabla\cdot( -\nabla \phi +\vec\nabla \times \vec F) \Rightarrow$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\vec\nabla\cdot\nabla \phi +\vec\nabla\cdot(\vec\nabla \times \vec F) \Rightarrow$$

Note que $\vec\nabla\cdot(\vec\nabla \times \vec F)=0$ e que $\vec\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi$ (Laplaciano de $\phi$). Assim:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\nabla^2 \phi $$ Substituindo $\phi$:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\nabla^2 \phi =-\nabla^2 \frac{1}{4\pi}\int\frac{S(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’=-\frac{1}{4\pi}\int S(\vec r’)\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right )\rm {d \tau}’\Rightarrow$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\frac{1}{4\pi}\int S(\vec r’){\nabla^2}’\left( \frac{1}{r}\right )\rm {d \tau}’$$

Lembrando que $r=\sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}$ e que $\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right )=4\pi\delta(\vec r -\vec r’)$. Assim:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\int S(\vec r’)\delta(\vec r-\vec r’)\rm {d \tau}’=\int S(\vec r’)\delta(\vec r’-\vec r)\rm {d \tau}’=S(\vec r’ = \vec r) = S$$

Observe a mudança de sinal da integral quando invertemos $\vec r$ com $\vec r’$. Isto ocorre porque o delta de Dirac é em três dimensões, isto é:

$$\delta (\vec r – \vec r’) =\delta (x – x’) \cdot\delta (y – y’) \cdot\delta (z – z’)\Rightarrow$$

$$\delta (\vec r – \vec r’) =\left ( -\delta (x’ – x)\right )\cdot\left (-\delta (y’- y)\right )\cdot\left (-\delta (z’ – z)\right )$$

$$\delta (\vec r – \vec r’) =-\delta (\vec r’ – \vec r) $$

Essa é a primeira parte. Falta agora demonstrar que as equações 05 e 04 em 03 satisfaz 01 (mostramos que satisfazem 02).