Em geral, temos duas fórmulas para calcular a força gravitacional:

$$P=mg$$

e

$$F=\frac{GMm}{d^2}$$

Mas quais as diferenças e semelhanças entre elas? Na verdade, ambas são totalmente equivalentes, pois se considerarmos uma região próxima à da Terra, podemos assumir que a gravidade é constante, assim, igualando as duas forças (pois são uma única força), temos:

$$mg=\frac{GMm}{d^2}\Rightarrow g=\frac{GM}{d^2}$$

Se $d$ for o raio da Terra, temos o valor da gravidade na superfície do planeta.

Mas para deixar esta ligação entre o que vemos quando estudamos fenômenos na superfície da Terra e a Gravitação Universal, vamos tomar o seguinte exemplo: usando as equações da gravitação universal determine a equação da variação da energia potencial de um corpo na superfície da Terra ao ser levado de um ponto à outro sendo este último à uma altura $h$ acima do primeiro. Assuma que esta altura é muito menor que o raio da Terra.

Lembrando que a energia potencial gravitacional na gravitação universal é dada por:

$$U=-\frac{GMm}{d}$$

a variação, ao ir do ponto mais baixo para o mais alto, será:

$$\Delta U=-\frac{GMm}{R+h}-\left(-\frac{GMm}{R}\right)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)\Rightarrow$$

$$\Delta U=GMm\left(\frac{R+h-R}{R(R+h)}\right)=GMm\left(\frac{h}{R(R+h)}\right)$$

Temos agora um resultado interessante, pois $R+h\approx R$ pois $h<<R$. Além disso vimos que

$$g=\frac{GM}{R^2}$$

na superfície da Terra. Portanto:

$$\Delta U\approx GMm\left(\frac{h}{R^2)}\right)$$

Ou seja:

$$\Delta U\approx mgh$$