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O universo Mecânico

O Caltech lançou uma série de vídeos sobre física.

Abaixo temos uma playtist que do youtube com todos os episódios.

Como professor, recomendo para todos os alunos do ensino médio ou pré vestibular, além de curiosos é claro. Ele vai um pouco além apresentando ferramentas de cálculo, o que sinceramente acho indispensável para a compreensão da física, ajudando a compreender a teoria.

Para saber um pouco mais da série encontrei este post:

http://fprudente.blogspot.com.br/2009/03/caltech-o-universo-mecanico.html

Segue a playlist:

 

Lembre-se, é uma produção da década de 80, então não teremos animações 3d renderizada da mesma forma que vemos em produções Holywwodianas, mas a forma não é tudo: o conteúdo é preciosíssimo.

 

Bom estudo à todos.
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original”.

(Albert Einstein)

 

 

Aceleração da gravidade próxima à superfície da Terra

Em geral, temos duas fórmulas para calcular a força gravitacional:

$$P=mg$$

e

$$F=\frac{GMm}{d^2}$$

Mas quais as diferenças e semelhanças entre elas? Na verdade, ambas são totalmente equivalentes, pois se considerarmos uma região próxima à da Terra, podemos assumir que a gravidade é constante, assim, igualando as duas forças (pois são uma única força), temos:

$$mg=\frac{GMm}{d^2}\Rightarrow g=\frac{GM}{d^2}$$

Se $d$ for o raio da Terra, temos o valor da gravidade na superfície do planeta.

Mas para deixar esta ligação entre o que vemos quando estudamos fenômenos na superfície da Terra e a Gravitação Universal, vamos tomar o seguinte exemplo: usando as equações da gravitação universal determine a equação da variação da energia potencial de um corpo na superfície da Terra ao ser levado de um ponto à outro sendo este último à uma altura $h$ acima do primeiro. Assuma que esta altura é muito menor que o raio da Terra.

Lembrando que a energia potencial gravitacional na gravitação universal é dada por:

$$U=-\frac{GMm}{d}$$

a variação, ao ir do ponto mais baixo para o mais alto, será:

$$\Delta U=-\frac{GMm}{R+h}-\left(-\frac{GMm}{R}\right)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)\Rightarrow$$

$$\Delta U=GMm\left(\frac{R+h-R}{R(R+h)}\right)=GMm\left(\frac{h}{R(R+h)}\right)$$

Temos agora um resultado interessante, pois $R+h\approx R$ pois $h<<R$. Além disso vimos que

$$g=\frac{GM}{R^2}$$

na superfície da Terra. Portanto:

$$\Delta U\approx GMm\left(\frac{h}{R^2)}\right)$$

Ou seja:

$$\boxed{\Delta U\approx mgh}$$

 

 


UNESP – IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Um bloco de madeira de massa M pode deslizar livremente e sem atrito dentro de um tubo cilíndrico. Uma bala de massa m, movimentando-se com velocidade v0 ao longo do eixo horizontal do cilindro, como mostra a figura a seguir, perde 36% de sua energia cinética ao atravessar o bloco.

 projetil_antes_do_bloco
Após ter sido atravessado pela bala, o bloco, que estava inicialmente em repouso, passa a movimentar com velocidade V. Mostre que $V=\frac{mv_0}{5M}$.

(Despreze efeitos da força da gravidade sobre a trajetória da bala).

RESOLUÇÃO

Antes da colisão, a quantidade de movimento do sistema era de $mv_0$ da esquerda para a direita. Esta quantidade deve se conservar após a colisão. Assim:

$$mv_0=MV+mv$$

Em que V é a velocidade do bloco após o impacto e v a velocidade da bala após atravessar o bloco, conforme a figura a seguir.

projetil_depois-do-bloco

Segundo o enunciado, a bala perde 36% de sua energia cinética, assim, sendo $E_0$  a energia cinética da bala antes de atravessar o bloco e $E_f$ a energia cinética após atravessá-lo, temos:

$$E_f=0,64E_0$$

Substituindo os dados (literais), encontramos:

$$\frac{mv_0^2}{2}=0,64\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v=0,8v_0$$

Substituindo este dado na equação da conservação de quantidade de movimento (nossa primeira equação), encontramos:

$$mv_0=MV+mv\Rightarrow$$

$$mv_0=MV+m\cdot 0,8 \cdot v_0 \Rightarrow$$

$$V=\frac{mv_0}{5M}$$


Problema do looping não completo passando pelo centro

Qual é o valor da altura h, em função do raio da circunferência (loop), para que um corpo abandonado neste ponto inicie o loop e caia passando pelo centro deste mesmo loop? Despreze os atritos.

loopingcentro

Resolução:

Observe a figura abaixo. Nela acrescentamos uma nova variável $\theta$.

looping

Com isso, pela conservação da energia, obtemos a relação à seguir:

$$mgh=mgr(1+\rm{sen}\theta)+\frac{mv^2}{2}\Rightarrow $$
$$\rm{v}^2=2g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]\:\rm{eq.}01$$

Fazendo um diagrama de forças para o corpo no ponto onde ele perde o contato com o looping, isto é, quando a normal sobre o corpo é zero, teremos que $P_y$ é a resultante centrípeta:

$$P_y=P \rm{cos} \alpha$$

Sendo $\alpha= 90^o – \theta$ o ângulo em relação à horizontal da reta tangente (medido no sentido anti-horário), assim $\rm{sen}\theta=\rm{cos}\theta$ eportanto $P_y=P \rm{sen} \theta$. Portanto:
$$P\rm{sen}\theta=\frac{mv^2}{R}$$

Substituindo a equação obtida anteriormente para a velocidade, temos:
$$mg\rm{sen}\theta=\frac{m}{R} 2g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]$$

Dividindo a equação inteira por $mg$, multiplicando por $R$ e desenvolvendo a distributiva:
$$R\rm{sen}\theta=2h-2R-2R\rm{sen}\theta\Rightarrow$$
$$\rm{sen}\theta=\frac{2}{3}\cdot\frac{h-R}{R}$$

Com isso podemos obter co-seno de $\theta$:

$$\rm{cos}^2\theta=\sqrt{1-\rm{sen}^2\theta}$$

Desenvolvendo, obtemos:

$$\rm{cos}\theta=\frac{\sqrt{5R^2-4h^2+8hR}}{3R}$$

Agora vem uma sacada (foi uma sugestão de um aluno, o Rafael, da turma Ita, 2014), que achei muito boa. Vou resolver assim, e se alguém quiser tentar de outro jeito, fique a vontade.

Observe a figura abaixo. Se no ponto em que o corpo perde o contato com o looping ele “magicamente” não sofresse influência da gravidade e atravessasse o looping em linha reta, ele atingiria um alvo fictício no ponto onde está indicado o ângulo $\theta$ que chamaremos de objeto $O$. Agora, em uma situação análoga, voltando instante em que o corpo perde contato com o looping, com influência da gravidade, imagine que o ponto $O$ inicie uma queda livre. É uma consequência, que não abordarei em detalhes aqui mas que vale a pena perguntar o seu professor se não entender, o fato de que o objeto atingirá o alvo $O$ no centro da circunferência!

Com isso, a partir da figura abaixo, temos um novo triângulo retângulo em que o cateto oposto ao $\theta$ é $R$, a hipotenusa será $\frac{gt^2}{2}$ e o cateto adjacente será $vt$.

loopingCom isso, podemos escrever:

 

$$ \left\{\begin{matrix}
\rm{sen}\theta =\frac{2R}{gt^2}\\
\rm{cos}\theta= \frac{2v}{gt}
\end{matrix}\right.$$

Dividindo $\rm{sen}\theta$ por $\rm{cos}^2\theta$, obtemos:

$$\frac{\rm{sen}\theta}{\rm{cos}^2\theta}=\frac{2R}{gt^2}\cdot \frac{g^2t^2}{4v^2}=\frac{Rg}{2v^2}$$

Substituindo a equação 01 ($\rm{v}^2=2g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]$) e seno e co-seno de $\theta$ encontrado acima, obtemos:

$$\frac{\rm{sen}\theta}{\rm{cos}^2\theta}=\frac{Rg}{4g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{3R}\cdot\frac{9R^2}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{R}{4[h-R(1+\rm{sen}\theta)]}\Rightarrow\\
2(h-R)\cdot\frac{3}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[h-R(1+\rm{sen}\theta)]}$$

Substituindo sen$\theta$:

$$2(h-R)\cdot\frac{3}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[h-R(1+\frac{2(h-R)}{3R})]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[3h-3R-2(h-R)]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[3h-3R-2h+2R)]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[h-R]}\Rightarrow\\
\frac{8(h-R)^2}{5R^2-4h^2+8hR}=1\Rightarrow\\
8(h-R)^2=5R^2-4h^2+8hR\Rightarrow\\
8(h^2-2hR+R^2)=5R^2-4h^2+8hR\Rightarrow\\
8h^2-16hR+8R^2=5R^2-4h^2+8hR\Rightarrow\\
12\cdot h^2-24R\cdot h+3R^2=0$$

Resolvendo por Bhaskara:

$$\Delta=b^2-4ac\Rightarrow\\
\Delta=(24R)^2-4\cdot 12\cdot 3R^2\Rightarrow\\
\Delta=576\cdot R^2-144R^2\Rightarrow\\
\Delta=432R^2\Rightarrow\\
\Delta=3(12R)^2$$

Assim:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt\Delta}{2a}\Rightarrow\\
x=\frac{24R\pm 12R\sqrt3}{24}\Rightarrow\\
x=\frac{2R\pm R\sqrt3}{2}\Rightarrow\\
x=\frac{R}{2}\cdot \left ( 2\pm \sqrt{3} \right )$$

Isso nos da duas raízes. Uma porém é inválida. Resta saber qual e porque.

Temos que considerar a maior raiz, pois $x>R$ (veja que o lançamento só é possível se a altura do ponto em que o corpo perde contato for acima do ponto no centro do looping). Logo, como $x=\frac{R}{2}\cdot \left ( 2 – \sqrt{3} \right ) < R$, esta raiz não satisfaz nossas condições.

Assim a resposta será:

$$x=\frac{R}{2}\cdot \left ( 2 + \sqrt{3} \right )$$