Arquivo da categoria: ondulatória

Ondas estacionárias

Algumas animações sobre ondas estacionárias… Todas elas podem ser acessadas no Desmos, simulações estas que podem ser modificadas deliberadamente. Seguem os links:

Tubo com duas extremidades fechadas: https://www.desmos.com/calculator/furozafpzb

Tubo com ambas as extremidades abertas: https://www.desmos.com/calculator/hhpc9jfdbl

Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: https://www.desmos.com/calculator/grdqitedta

Seja um tubo de comprimento L. Vamos estudar cada um dos três casos, dando mais atenção às relações matemática que nos conceitos.

TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES FECHADAS

Seja o primeiro harmônico:

Primeiro Harmônico ou Harmônico fundamental.

Observe nós vemos apenas metade de uma onda, logo podemos dizer que o comprimento da onda aqui presenta é: $$L=\frac{\lambda_1}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_1 = 2\cdot L.$$

Vamos para o segundo harmônico:

Segundo Harmônico.

Note que agora o há exatamente um comprimento de onda dentro do tubo, com isso temos $$L=\lambda_2\Rightarrow$$ $$\lambda_2=L$$

Observe que agora no terceiro harmônico temos mais meio comprimento de onda dentro do tubo:

Terceiro Harmônico.

No terceiro harmônico temos: $$L=3\cdot \frac{\lambda_3}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_3=\frac{2L}{3}.$$

Se continuarmos com os demais estados estacionários vemos que o caso geral para o n-ésimo harmônico é $$\lambda_n=\frac{2L}{n}.$$

Vamos continuar com mais animações de estados estacionários.

Quarto Harmônico.

Quinto Harmônico.

Sexto Harmônico

Sétimo Harmônico.

Oitavo Harmônico.

Nono Harmônico.

Décimo Harmônico.

Se estivermos falando de uma onda numa corda, podemos usar a equação de Taylor, isto é:

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$\lambda_n\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$\frac{2L}{n}\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Nos próximos casos, fica como exercício demonstrar tais relações, apresentadas a seguir. Alguns gifs estarão no corpo do texto para tentar auxiliar você a chegar nestas equações, mas os links no início do texto permite que você veja todos os harmônicos, basta clicar para exibir alguns gráficos.

Qualquer dúvida poste aí…

TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES ABERTAS

Alguns harmônicos:

Primeiro Harmônico.

Segundo Harmônico.

Terceiro Harmônico.

Quarto Harmônico.

Tente encontrar assim o seguinte padrão para o n-ésimo harmônico:

$$\lambda_n=\frac{2L}{n}$$

 

Décimo Harmônico.

O resultado é portanto igual ao anterior:

$$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

TUBO COM UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA

Não fique esperando que neste último caso será igual… Na verdade, você verá (isso mesmo, tente desenhar num papel) que é possível colocar 1/4 de um comprimento de onda dentro do tubo, mas não 2/4, isto é, meio comprimento de onda. Você verá que somente um número ímpar de quarto de onda pode ser colocado dentro do tubo.

Faça os desenhos e tente verificar que

$$\lambda_n=\frac{4L}{n},\;\;n\;\;\text{ímpar}.$$

Veja as figuras e tente ver se verifica isto…

Primeiro Harmônico.

Terceiro Harmônico.

Quinto Harmônico.

Sétimo Harmônico.

Nono Harmônico.

Observe e conte quantos quartos do comprimento de onda aparece em cada caso. Apenas para ilustrar, veja a configuração do 19° harmônico:

Décimo nono Harmônico.

Com isso tudo podemos verificar que

$$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n\;\;\text{ímpar}$$

RESUMINDO

  • Tubo com duas extremidades fechadas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$
  • Tubo com ambas as extremidades abertas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;3,\;5,\;7,\;9…$$
  • Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: $$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$

Sendo F a força de tração na corda pela qual a onda percorre e a densidade linear da corda dada por $$\mu=\frac m L$$ sendo m a massa da corda e L o comprimento da corda. Note que consideramos que o comprimento da corda é L e que mesmo com a onda na corda o comprimento da onda não se altera. Isso porque a amplitude das ondas são pequenas, portanto todas as figuras anteriores estão muito exageradas…

Exercícios sugeridos

TODOS da lista de exercícios disponível no seguinte endereço:

http://profevertonrangel.blogspot.com/2013/05/ondas-estacionarias.html

Bons estudos!

Interferência de ondas (pulsos)

Pulso em uma onda

Imagine que você tenha uma corda e nela você produz um pulso, como na figura a seguir.

Falha no carregamento

Um pulso se propagando em uma corda esticada.

No outro extremo da corda você produz novo pulso, de amplitude diferente. Digamos, com uma amplitude três vezes maior:

Pulso produzido em uma corda e se propagando para a esquerda.

Observe a figura a seguir se você não se lembra o que é amplitude de uma onda onde mostramos duas “fotografias” dos dois pulsos e comparamos as suas amplitudes.

As duas ondas são representadas na figura: note que um dos pulsos (o que se propaga para a esquerda) possui amplitude três vezes maior que a outra (que se propaga para a direita).

Interferência construtiva

Agora imagine que ambos os pulsos sejam produzidos simultaneamente: um se propagando para a direita, de amplitude A e outro para a esquerda de amplitude 3A, o que teríamos? Basta ver a figura a seguir:

Observe que quando as ondas ocupam o mesmo local na corda elas se sobrepõem. No final é como se somássemos duas funções matemáticas.

Para melhorar a visualização, veja a figura a seguir onde demos uma pausa no exato instante em que emas se sobrepõem e, na figura logo abaixo, mostramos uma “fotografia” desse instante. Ou seja, quando as ondas se sobrepõem, no exato instante da sobreposição elas se somam, mas logo após esse encontro (que chamamos de interferência) cada uma segue seu caminho como se nada tivesse acontecido.

Somando dois pulsos dando uma parada no exato momento de interferência construtiva (quando ambas as amplitudes apontam para um mesmo lado).

As figuras a seguir mostram instantâneos (“fotografias”) antes, durante e depois a interferência ou sobreposição.

Figura representando instantâneo da onda sendo representadas as velocidades dos pulsos e as amplitudes.

Instantâneo da sobreposição dos pulsos.

Instantâneo das ondas após a sobreposição.

Note portanto que a amplitude resultante é a soma das amplitudes:

$$A_{resultante}=A_1+A_2$$

Em nosso caso:

$$A_{resultante}=A+3A=4A$$

Observe que isto é válido em TODOS os instantes, não apenas no instante em que as ondas se sobrepõem.

Interferência destrutiva

Agora, imagine que dois pulsos sejam produzidos em oposição de fase, isto é, um possui crista para cima (digamos, o que se propaga para a direita com amplitude A) e o outro com crista para baixo (em oposição, portanto, o que se desloca para a esquerda, de amplitude -3A). Note que vamos considerar que para cima é positivo, assim, observando as figuras abaixo, que são auto-explicativas, vemos que as ondas se sobrepõem e, no caso das ondas serem da mesma forma, a amplitude resultante será a soma das amplitudes.

$$A_{resultante}=A+(-3A)=-2A$$

Pulsos com oposição de fase se interferindo.

Pulsos de ondas interferindo destrutivamente: três instantâneos mostrando antes, depois e no exato instante de máxima sobreposição.

Interferência totalmente destrutiva

Se as duas ondas que sofrem interferência destrutiva tiverem amplitudes de mesmo módulos, porém opostas (uma para cima e outra para baixo) em algum instante a interferência será totalmente destrutiva, ou seja, em um instante a onda deixa de ser visível e o fio fica retilíneo como se nenhuma onda existisse nele.

Veja as duas próximas animações onde apresentamos ondas interferindo-se em “tempo real” (próxima figura) e com uma pausa no exato instante de interferência destrutiva (figura posterior).

Duas ondas de amplitudes de sobrepondo.

Observe que cada quadro da animação foi sendo mostrado mais lentamente com o intuito de mostrar que, em certo instante, a sobreposição das ondas tona-se nula.

Simulação

Nada como tentar fazer você mesmo(a). A seguir disponibilizo as simulações para vocês brincarem um pouco.

 

Equação de Taylor e a velocidade de uma onda em uma corda

Já que estamos falando de um pulso em uma corda, qual seria então a velocidade com que este pulso se propaga na corda?

A resposta é dada pela equação de Taylor apresentada a seguir:

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Sendo a tração no fio, que no sistema internacional é medido em newtons (ou abreviadamente N). O outro termo, no denominador, é a densidade linear e se calcula dividindo a massa m do fio pelo seu comprimento L:

$$\mu=\frac m L$$

 


Dúvida: questão AFA – 2014

O seguinte comentário foi postado em Pergunte ao Professor Danilo por Dirlei santos:

58 – Um estudante montou um experimento com uma rede de difração de 1000 linhas por milímetro, um laser que emite um feixe cilíndrico de luz monocromática de comprimento de onda igual a m 4.10−7 e um anteparo, conforme figura abaixo.

afa2015-58
O espectro de difração, observado no anteparo pelo estudante, foi registrado por uma câmera digital e os picos de intensidade apareceram como pequenos pontos
brilhantes na imagem.
Nessas condições, a opção que melhor representa a imagem do espectro de difração obtida pelo estudante é:

a) . . .
b) . . . .
c) . . . . .
d) . . . . . . .


 

Não entendi essa questão, teria como me explicar ? Fica a vontade que eu gosto de física, vou tentar entender ao máximo.


Demorei um pouco para responder porque não queria colocar a resolução apenas com a fórmula: pensei em explicar o que está acontecendo.

Primeiramente, vamos ao que é rede de difração: imagine uma placa com vários cortes ao longo delas, todos paralelos entre si. Os cortes têm largura pouco maior que o comprimento de onda da onda incidente. Um exemplo disso é o cd (ou dvd e o blu-ray). Veja a foto abaixo com um experimento feito em casa com laser verde e um cd sem a parte prateada.

Pedaço de CD

Acima, um pedaço de CD sem a parte metálica. Abaixo o pedaço de CD fixo em um prendedor de papel.CD em um suporte

Ao passar o laser por ele, o que acontece?

Figura de difração da redeOs pontos que você vê é a imagem de difração da rede que existe no cd. Usei o laser verde de comprimento de onda de 532 nm, assim, além de resolver o exercício vamos calcular a distância entre duas linhas no cd. Abaixo, a distância da rede (cd) ao anteparo (parede).

Distância da Rede ao Anteparo

Vamos ao exercício.

Se procurar a solução na internet vai ver que se usam a fórmula

$$d \; \rm{sen} \theta = m \lambda $$

Vamos demonstrar esta fórmula.

Primeiro, você deve saber um pouco sobre interferência de ondas. Lembra-se que duas ondas emitidas por duas fontes em fase (em fase quer dizer que quando uma onda produzida está “subindo”, a outra também está, e quando está “descendo”, a outra também está) quando as duas se encontram pode haver interferência construtiva e destrutiva?

Se a diferença entre as distâncias percorridas por ambas as ondas for um múltiplo inteiro do comprimento de onda $$\lambda$$ então ocorrerá uma interferência construtiva. É importante você saber do que estou falando para entender o restante! Se não souber, pode perguntar.

Vamos lá: abaixo está representado o perfil da rede de difração que estamos estudando:

refeDifracao

À esquerda está representado o laser e à direita os pontos de máximos (onde ocorre interferência construtiva). Cada fenda na rede se comporta como se fosse uma fonte emitindo uma onda em fase. Vamos dar um “zoom” na rede e analisar um raio de luz que sai de cada fenda:

interferencia rede

Na figura estão representados os raios que saem da rede e atingem o ponto onde ocorre o primeiro máximo de interferência, isto é, o primeiro ponto brilhante contado do centro para fora, mas desconsiderando o máximo central.

Como a distância entre as fendas d é muito pequena comparada com a distância entre a rede e o anteparo podemos considerar os raios que saem das fendas como paralelos. Na figura à direita está representado um trecho da rede onde está sendo mostrado a distância d entre duas fendas e a diferença de caminho entre dois raios consecutivos, que é dada por $$d\;\rm{sen} \theta$$. Assim, temos a fórmula, pois a diferença de caminho deve ser um múltiplo inteiro (que chamaremos de m) de $$\lambda$$:

diferença de caminho = número inteiro vezes comprimento de onda

$$d \; \rm{sen} \theta = m \; \lambda$$

Note que o enunciado nos deu a quantidade de linhas por milímetro, assim sabemos que a distância entre cada fenda é:

$$d=\frac{1\; \rm{mm}}{1000}=1\cdot 10^{-6}\;\rm m$$

A pergunta é quantos máximos o estudante enxerga no anteparo. Para que apareça um ponto brilhante na parede, é necessário que $$\theta < 90^o$$, pois se $$\theta > 90^o$$ a luz foi refletida. Assim, para a condição de $$\theta = 90^o$$ temos:

$$d \; \rm{sen} \theta = m \; \lambda \Rightarrow$$

$$1\cdot 10^{-6}\;\rm{sen}90^o=m\cdot 4\cdot 10^{-7}\Rightarrow$$

$$m=\frac{10}{4}\Rightarrow$$

$$m=2,5$$

Como m deve ser inteiro, devemos arredonda-lo para menos, pois m = 3 implica em $$\theta > 90^o$$. Assim, temos que m = 2.

Ou seja, estamos falando do segundo máximo, sem contar o central. Como a imagem é simétrica, temos mais dois pontos do outro lado, isto é, temos 5 pontos de máximos.

$$\rm{Resposta\;C}$$

Voltando ao nosso exemplo, que montei com um CD,  você deve ter reparado que apareceram apenas três pontos. Mesmo aproximando o CD da parede o número não aumenta.

Vamos tentar calcular o número de linhas por unidade de comprimento do CD?

rede difracao

Por trigonometria, pelo desenho anterior, vemos que

$$\rm{tg}=\frac{y}{D}$$

Como em nosso experimento m = 1, $$y=7\;\rm{cm}$$ e $$D=17\;\rm{cm}$$, podemos montar o seguinte sistema:

$$\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=m\;\lambda\\
\rm{tg}\theta=\frac{y}{D}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=1\cdot532\cdot10^{-9}\\
\rm{tg}\theta=\frac{7}{17}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow $$

$$\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=532\cdot10^{-9}\\
\theta=22,38^o
\end{matrix}\right.$$

O ângulo eu descobri usando uma calculadora científica. Assim, substituindo o resultado da equação de baixo na equação de cima e usando uma calculadora científica, temos:

$$d\;\rm{sen}22,38^o=532\cdot10^{-9}\Rightarrow d\cdot0,381=532\cdot10^{-9}\Rightarrow $$
$$d=1,397\cdot10^{-6}\;\rm m$$

Ou seja, quase 1,4 $$\mu\;\text{m}$$ entre uma ranhura e outra.

O número de ranhuras por milímetro é $$\frac{1}{d}$$ sendo d em milímetro, ou seja:

$$\frac{1}{1,4\cdot 10^{-3} \;\rm{mm}}=714 \; \rm{ranhuras}\;\rm{por}\;\rm{mm}$$

Segundo a literatura, o valor é de 625 ranhuras por mm. Não está tão longe assim para um experimento tão simples, feito com régua, em casa.

Vamos voltar ao desenho anterior.

rede difracao

Muitas vezes a seguinte aproximação pode ser feita:

$$\rm{sen}\theta\approx\rm{tg}=\frac{y}{D}$$

Se assim for, podemos reescrever o sistema anterior tornando-o mais simples:

$$\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=m\;\lambda\\
\rm{sen}\theta\approx\frac{y}{D}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
d=\frac{m\;\lambda\;D}{y}$$


Efeito Doppler – demonstração – onda mecânica

Apresentarei aqui uma forma alternativa de se demonstrar a fórmula do efeito Doppler para ondas sonoras. Como pré-requisito, você deverá saber calcular a velocidade relativa a um corpo em sua forma vetorial (se tiver dúvidas sobre isso consulte aqui).  Vou direto à demonstração e recomendo que já tenha uma noção do que é efeito Doppler. Vamos começar:

Seja uma onda qualquer produzida por uma fonte emissora E e um observador O, com velocidades, respectivamente, iguais à $\vec{v}_E$ e $\vec{v}_O$. Sabemos que a equação fundamental da ondulatória é:

$$v=\lambda \cdot f$$

Perguntinha: o que é $v$? Velocidade, certo? Mas de que e em relação à que ou à quem? A resposta é que $v$ é a velocidade da onda no referencial de quem mede a frequência $f$, ou seja, para o observador O, a velocidade da onda $v=v_O$ é a velocidade da onda sonora medida em relação à O que mede uma frequência $f_O$, assim como para a fonte, $v=v_E$ é a velocidade da onda sonora medida no referencia de E que percebe uma frequência $f_E$. Resumindo, para a fonte e para o observador, temos a equação fundamental da ondulatória:

$$\left\{\begin{matrix}
v_{SomE}=\lambda_E \cdot f_E\\
v_{SomO}=\lambda_O \cdot f_O
\end{matrix}\right.$$

Na forma vetorial, a velocidade do $\vec{v}_S$ é medida em relação ao ar. A velocidade do som em relação ao emissor é $\vec{v}_{SomE}$ é:

$$\vec{v}_{SomE}=\vec{v}_S-\vec{v}_E$$

A velocidade do som em relação ao observador é $\vec{v}_{SomO}$ é:

$$\vec{v}_{SomO}=\vec{v}_S-\vec{v}_O$$

O comprimento da onda é, por exemplo, a distância entre duas cristas da onda, e pode ser definido como a distância entre dois pontos fixos em duas cristas consecutivas. Como distância entre dois pontos não depende do referencial, temos que $\lambda_E=\lambda_O$, ou seja:

$$\frac{|\vec{v}_{SomE}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_{SomO}|}{f_O}$$

O módulo surge porque estamos comparando dois números positivos (escalares): os comprimentos de onda medidos em referenciais diferentes.

Assim:

$$\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{E}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{O}|}{f_O}$$

Esta já é a equação do efeito Doppler e a demonstração está terminada! Entretanto, esta fórmula pode ser muito útil ou mesmo inútil para você dependendo do seu grau de entendimento sobre a forma vetorial de cálculo de velocidade relativa, por isso recomento que leia o conteúdo do link abaixo:

http://www.professordanilo.com/teoria/aula104_MOVIMENTO_UNIFORME.html#relativa

Sugiro que leia do item “VELOCIDADE RELATIVA” para baixo.

EXEMPLOS CLÁSSICOS:

Considerando que você tenha lido o material acima, podemos então escrever a equação do efeito Doppler da seguinte forma:

$$\frac{f_O}{v_{SomO}}=\frac{f_E}{v_{SomE}}$$

Sendo que $v_{SomO}$ e $v_{SomE}$ são as velocidades do som (que vai do emissor para o observador) em relação ao observador e emissor, respectivamente.

Por exemplo, se o observador está indo na direção do emissor, então a velocidade do som e do observador estão em sentidos opostos, logo $v_{SomO}=v_S+v_E$ (soma-se os módulos das velocidades). Se o observador se afasta, subtrai-se os módulos das velocidades, pois a velocidade do som em relação ao ar está na mesma direção que a velocidade do observador.

A ideia se repete para o emissor: indo na direção do observador subtraem-se as velocidades e na direção oposta ao observador somam-se as velocidades.

 

Qualquer dúvida, postem aí.


Questão UFC – Gabarito incorreto na net

A questão a seguir tem aparecido na internet com o gabarito errado. Minha intensão é resolver, detalhadamente, e apresentar onde possivelmente está o erro de outros gabaritos. Deixo como exercício para que alguém tente resolvê-la. Em breve a resolverei…

A figura a seguir mostra frentes de onda sucessivas emitidas por uma fonte puntiforme em movimento, com velocidade vf para a direita. Cada frente de onda numerada foi emitida quando a fonte estava na posição identificada pelo mesmo número. A distância percorrida em 0,9 segundos, pela fonte, medida a partir da posição indicada pelo número 1 até a posição indicada pelo número 8, é de 9,0 m, e a velocidade da onda é de 20,0 m/s

UFC

Determine:

a) a velocidade vf da fonte.

b) o comprimento de onda medido pelo observador A.

c) a frequência medida pelo observador B.

d) a frequência da fonte.

 a) vf = 10,0 m/s;  b) 1,285 m;  c) 140/9 Hz;  d) 70/9 Hz


Lista de Física Moderna e Ondulatória

Lista com alguns exercícios de ondulatória  e poucos de física moderna.

Poucos vestibulares cobram estes dois assuntos e a lista a seguir apresenta um pequeno conjunto dos exercícios que caíram em alguns vestibulares no ano passado (para egresso em  2015).

Vale a pena conferir!

Vale conferir aqui. Clique já.