Apresentarei aqui uma forma alternativa de se demonstrar a fórmula do efeito Doppler para ondas sonoras. Como pré-requisito, você deverá saber calcular a velocidade relativa a um corpo em sua forma vetorial (se tiver dúvidas sobre isso consulte aqui).  Vou direto à demonstração e recomendo que já tenha uma noção do que é efeito Doppler. Vamos começar:

Seja uma onda qualquer produzida por uma fonte emissora E e um observador O, com velocidades, respectivamente, iguais à $$\vec{v}_E$$ e $$\vec{v}_O.$$ Sabemos que a equação fundamental da ondulatória é:

$$v=\lambda \cdot f$$

Perguntinha: o que é v? Velocidade, certo? Mas de que e em relação à que ou à quem? A resposta é que v é a velocidade da onda no referencial de quem mede a frequência f, ou seja, para o observador O, a velocidade da onda v=v_O é a velocidade da onda sonora medida em relação à O que mede uma frequência f_O, assim como para a fonte, v=v_E é a velocidade da onda sonora medida no referencia de E que percebe uma frequência f_E. Resumindo, para a fonte e para o observador, temos a equação fundamental da ondulatória:

$$\left\{\begin{matrix}
v_{SomE}=\lambda_E \cdot f_E\\
v_{SomO}=\lambda_O \cdot f_O
\end{matrix}\right.$$

Na forma vetorial, a velocidade do $$\vec{v}_S$$ é medida em relação ao ar. A velocidade do som em relação ao emissor é $$\vec{v}_{SomE}$$ é:

$$\vec{v}_{SomE}=\vec{v}_S-\vec{v}_E$$

A velocidade do som em relação ao observador é $$\vec{v}_{SomO}$$ é:

$$\vec{v}_{SomO}=\vec{v}_S-\vec{v}_O$$

O comprimento da onda é, por exemplo, a distância entre duas cristas da onda, e pode ser definido como a distância entre dois pontos fixos em duas cristas consecutivas. Como distância entre dois pontos não depende do referencial, temos que $$\lambda_E=\lambda_O,$$ ou seja:

$$\frac{|\vec{v}_{SomE}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_{SomO}|}{f_O}$$

O módulo surge porque estamos comparando dois números positivos (escalares): os comprimentos de onda medidos em referenciais diferentes.

Assim:

$$\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{E}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{O}|}{f_O}$$

Esta já é a equação do efeito Doppler e a demonstração está terminada! Entretanto, esta fórmula pode ser muito útil ou mesmo inútil para você dependendo do seu grau de entendimento sobre a forma vetorial de cálculo de velocidade relativa, por isso recomento que leia o conteúdo do link abaixo:

http://www.professordanilo.com/teoria/aula104_MOVIMENTO_UNIFORME.html#relativa

Sugiro que leia do item “VELOCIDADE RELATIVA” para baixo.

EXEMPLOS CLÁSSICOS:

Considerando que você tenha lido o material acima, podemos então escrever a equação do efeito Doppler da seguinte forma:

$$\frac{f_O}{v_{SomO}}=\frac{f_E}{v_{SomE}}$$

Sendo que v_SomO e v_SomE são as velocidades do som (que vai do emissor para o observador) em relação ao observador e emissor, respectivamente.

Por exemplo, se o observador está indo na direção do emissor, então a velocidade do som e do observador estão em sentidos opostos, logo v_SomO=v_S+v_E (soma-se os módulos das velocidades). Se o observador se afasta, subtrai-se os módulos das velocidades, pois a velocidade do som em relação ao ar está na mesma direção que a velocidade do observador.

A ideia se repete para o emissor: indo na direção do observador subtraem-se as velocidades e na direção oposta ao observador somam-se as velocidades.

 

Qualquer dúvida, postem aí.