Respondendo à seguinte questão de função modular:

Estou aprendendo módulo na disciplina de matemática no Cotuca e não consigo resolver essa questão: $$|x^2 -5x +5|<1$$
Obrigada!

Resposta:

Temos uma inequação modular que pode ser dividida em duas inequações modulares:

$$|x^2 -5x +5|<1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix}
x^2 -5x +5 <1 &\rm{ineq}(01)\\
x^2 -5x +5 >-1&\rm{ineq}(02)
\end{matrix}\right.$$

Resolvendo a primeira inequação:

$$x^2 -5x +5 <1 \Rightarrow x^2 -5x +4 <0$$

Neste caso temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: $x^2 -5x +4 =0$. Resolvendo:

$$\Delta=b^2-4ac\\
\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4\\
\Delta=25-16\\
\Delta=9$$

Com isso encontramos as raízes:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2\cdot1}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_1=\frac{5 + 3}{2}=4\\
x_2=\frac{5 – 3}{2}=1
\end{matrix}\right.
$$

Agora fazemos a análise das soluções, conforme representado abaixo:

Assinalamos a região negativa, pois queremos a solução para $x^2 -5x +4 <0$.

Agora faremos o mesmo para a outra inequação:

$$x^2 -5x +5 >-1 \Rightarrow x^2 -5x + 6 >0$$

Neste caso temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: $x^2 -5x + 6 =0$. Resolvendo:

$$\Delta=b^2-4ac\\
\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6\\
\Delta=25-24\\
\Delta=1$$

Com isso encontramos as raízes:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2\cdot1}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm 1}{2}\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_1=\frac{5 + 1}{2}=3\\
x_2=\frac{5 – 1}{2}=2
\end{matrix}\right.
$$

Agora fazemos a análise das soluções, conforme representado abaixo:

Assinalamos a região positiva pois queremos a região para $x^2 -5x + 6 >0$.

Por fim temos que encontrar a solução que satisfaça às duas condições acima, assim podemos esquematizar as soluções em três retas reais, sendo as duas primeiras a solução das duas inequações e a última a solução (intersecção) da inequação modular.

Com isso temos que a solução está para $x$ entre 1 e 2 ou entre 3 e 4, pois nestas circunstâncias tanto a inequação (01) como a inequação (02) são satisfeitas.

Ou seja:

$$S=\{x\: \epsilon \: \mathbb{R} \: |\:  1<x<2\: \cup  \: 3<x<4\}$$

Para verificar a solução acima, veja abaixo o gráfico da função $y=|x^2 -5x +5|$. Note que para satisfazer $y<1$, $x$ deve estar entre 1 e 2 ou entre 3 e 4, como encontrado acima.

Espero ter ajudado.