Aulas Online de Eletrodinâmica

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Aula 1 de eletrodinâmica

Sejam $$\vec\nabla\times\vec A = \vec C\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.01)$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A = S \;\;\;\;\;\;\;\;(eq.02)$$

Por consistência $\vec\nabla \cdot \vec C =0$. Para que $\vec A$ seja único, temos que $\vec A$ pode ser escrito como:

$$\vec A = -\nabla \phi +\vec\nabla \times \vec F\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.03)$$

onde $$\phi=\frac{1}{4\pi}\int\frac{S(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.04)$$ e $$\vec F=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\vec{C}(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.05)$$

Vamos verificar se estas duas últimas relações satisfazem as condições iniciais para o campo vetorial $\vec A$.. Primeiro, vejamos para o divergente:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =\vec\nabla\cdot( -\nabla \phi +\vec\nabla \times \vec F) \Rightarrow$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\vec\nabla\cdot\nabla \phi +\vec\nabla\cdot(\vec\nabla \times \vec F) \Rightarrow$$

Note que $\vec\nabla\cdot(\vec\nabla \times \vec F)=0$ e que $\vec\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi$ (Laplaciano de $\phi$). Assim:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\nabla^2 \phi $$ Substituindo $\phi$:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\nabla^2 \phi =-\nabla^2 \frac{1}{4\pi}\int\frac{S(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’=-\frac{1}{4\pi}\int S(\vec r’)\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right )\rm {d \tau}’\Rightarrow$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\frac{1}{4\pi}\int S(\vec r’){\nabla^2}’\left( \frac{1}{r}\right )\rm {d \tau}’$$

Lembrando que $r=\sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}$ e que $\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right )=4\pi\delta(\vec r -\vec r’)$. Assim:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\int S(\vec r’)\delta(\vec r-\vec r’)\rm {d \tau}’=\int S(\vec r’)\delta(\vec r’-\vec r)\rm {d \tau}’=S(\vec r’ = \vec r) = S$$

Observe a mudança de sinal da integral quando invertemos $\vec r$ com $\vec r’$. Isto ocorre porque o delta de Dirac é em três dimensões, isto é:

$$\delta (\vec r – \vec r’) =\delta (x – x’) \cdot\delta (y – y’) \cdot\delta (z – z’)\Rightarrow$$

$$\delta (\vec r – \vec r’) =\left ( -\delta (x’ – x)\right )\cdot\left (-\delta (y’- y)\right )\cdot\left (-\delta (z’ – z)\right )$$

$$\delta (\vec r – \vec r’) =-\delta (\vec r’ – \vec r) $$

Essa é a primeira parte. Falta agora demonstrar que as equações 05 e 04 em 03 satisfaz 01 (mostramos que satisfazem 02).

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