Equações de Maxwell e equação da onda eletromagnética

Como chegar na equação da onda usando as equações de Maxwell?

Primeiro vamos relembrar a equação da onda: $$\frac{1}{v^2}\frac{\rm d^2 Y}{\rm d t^2}=\nabla ^2 Y$$

Sendo $$v$$ a velocidade de propagação da onda.

Vamos escrever as equações de Maxwell:

  1. $$\vec \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
  2. $$\vec \nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
  3. $$\vec\nabla\cdot\vec B=\vec 0$$
  4. $$\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$$

Vamos precisar de algum conhecimento de calculo vetorial. Mas a propriedade mais importante é a que se segue:$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec A)=\vec\nabla ( \vec\nabla \cdot A)-\nabla^2\vec A$$

Para começar, vamos aplicar o rotacional na segunda equação de Maxwell:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla ( \vec\nabla \cdot E)-\nabla^2\vec E =-\vec\nabla\times\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

Pela primeira equação, temos:

$$\vec\nabla \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)-\nabla^2\vec E =-\frac{\partial }{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B)$$

Se estivermos estudando um ponto distante de qualquer carga, isto é, se estivermos estudando apenas a relação entre a variação do campo magnético com a alteração do campo elétrico, podemos considerar que não existe cargas no ponto de estudo e portanto $$\vec\nabla \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)=\vec 0$$ Assim:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B)$$

Usando agora a quarta equação de Maxwell, temos:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)$$

Mais uma vez, se estivermos em um ponto distante de qualquer carga, a densidade de corrente também é nula: $$\vec j = \vec 0$$ Portanto:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$

Comparando com a equação da onda:

$$\frac{1}{v^2}\frac{\rm d^2 Y}{\rm d t^2}=\nabla ^2 Y$$

$$\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=\nabla^2\vec E $$

Vemos que a velocidade da “onda elétrica” ve é $$v_e^2=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Assim, podemos reescrever a equação acima:

$$\frac{1}{v_e^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=\nabla^2\vec E $$


 

Usando agora este mesmo processo para calcular a velocidade da “onda magnética” vm, começamos tomando o rotacional do rotacional do campo magnético:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\vec\nabla\times\left(\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)\Rightarrow$$

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\mu_0\vec\nabla\times \vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(\vec\nabla\times\vec E\right)$$

Novamente, tomando $$\vec j =\vec 0$$ e usando a segunda equação de Maxwell:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(-\frac{\partial \vec B}{\partial t} \right)=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

Agora, vamos trabalhar o lado esquerdo da equação anterior:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot \vec B)-\nabla^2\vec B=-\nabla^2\vec B$$

Note que a última passagem se deve a terceira equação de Maxwell. Portanto:

$$-\nabla^2\vec B=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

Esta é a equação da “onda magnética”:

$$\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}=\nabla^2\vec B\Rightarrow$$

$$\frac{1}{v_m^2}\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}=\nabla^2\vec B$$

Observe que as ondas “magnéticas” e “elétricas” possuem a mesma velocidade:

$$v_e^2=v_m^2=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Isto sugere que as ondas elétricas e magnéticas se propagam juntas formando a onda eletromagnética de velocidade c=ve=vm. Portanto, podemos escrever as equações da onda para o campo magnético e elétrico como se segue:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rm d^2 \vec E}{\rm d t^2}=\nabla ^2 \vec E$$

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rm d^2 \vec B}{\rm d t^2}=\nabla ^2 \vec B$$

$$\rm{sendo} \;\;\;\;\;\;c=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Note que trocamos as derivadas parciais por derivadas totais sem prejuízo algum.


Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.