5. Uma carga $e$ move-se sobre a influência…

Uma carga $e$ move-se sobre a influência dos campos $\vec E$ e $\vec B$ uniformes, no vácuo. Assuma que $\vec E \cdot \vec B = 0$ e $\vec v \cdot \vec B = 0$. A que velocidade a carga move-se sem aceleração? Qual a sua velocidade quando $|\vec E | = |\vec B|$?

Não foi dito no enunciado que o capo elétrico e magnético são estáticos no tempo, isto é, são campos uniformes, mas poderiam ser variáveis. Podemos eliminar esta possibilidade usando duas equações de Maxwell. São elas:

$$\vec \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

$$\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial  t}$$

Consideramos o vácuo e que, portanto, a densidade de corrente $\vec J = 0$.

Com os dados do enunciado, podemos escolher, sem perda de generalidade, os seguintes vetores para o campo elétrico, magnético e velocidade:

$$\vec E = E \hat i$$

$$\vec B=B \hat j$$

$$\vec v = v_x \hat i+v_z \hat k$$

Note que isto satisfaz $\vec E \cdot \vec B = 0$ (campos magnéticos e vetoriais perpendiculares), $\vec v \cdot \vec B$ (velocidade perpendicular ao campo magnético). Calculando a força de Lorentz:

$$\vec F = q \left ( \vec E + \vec v \times \vec B \right )$$

Vamos às perguntas. Primeira parte:

A que velocidade a carga move-se sem aceleração?

Façamos $\vec F=0$:

$$0 = q \left ( \vec E + \vec v \times \vec B \right )\Rightarrow$$

$$0=E\hat i +(0-v_z B)\hat i+(0-0)\hat j + (v_x B -0)\hat k$$

$$\left\{\begin{matrix}
0&=&E-v_z B \\
0&=&v_x B
\end{matrix}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}
v_z=\frac E B \\
v_x =0
\end{matrix}\right.$$

Ou seja:

$$\boxed{\vec v=\frac E B \hat k}$$

Segunda parte do enunciado:

Qual a sua velocidade quando $|\vec E | = |\vec B|$?

Voltemos à equação de Lorentz:

$$\vec F = q \left ( \vec E + \vec v \times \vec B \right )\Rightarrow$$

$$m \vec a=E\hat i +(0-v_z B)\hat i+(0-0)\hat j + (v_x B -0)\hat k$$

$$\left\{\begin{matrix}
m \ddot x = q(E -\dot z B)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(1)\\ \ddot y=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(2)\\
m \ddot z = q\dot x B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(3)
\end{matrix}\right. $$

Integrando no tempo, assumindo $t_0 =0$ e velocidades iniciais com subíndice $0$:

$$\left\{\begin{matrix}
\dot x = \frac q m (Et-zB)+v_{0x}\;\;\;\;\;\;eq.(4)\\
\dot y = v_{0y}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(5)\\
\dot z=\frac q m x B +v_{0z}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;eq.(6)
\end{matrix}\right.$$

Substituindo (6) em (1):

$$m\ddot x=q\left ( E-\frac q m x B ^2 -v_{0z}B\right )\Rightarrow \ddot x=-\frac {q^2}{ m^2} B^2 x+ \frac q m \left(E-v_{0z}B\right )$$

 

A solução da parte homogênea é uma função periódica, isto é:

$$x_{homo}=x_M \sin \left(\frac{qB}{m}t\right)$$

Para encontrar a solução geral, temos que somar uma constante, isto é, $$x=x_{homo}+C$$ Derivando duas vezes e jogando na equação diferencial de $x$ temos:

$$-\frac {q^2B^2}{ m^2}x_M\sin\left(\frac{qB}{m}t\right)=-\frac {q^2B^2}{ m^2} x_M\sin\left(\frac{qB}{m}t\right) -\frac {q^2B^2}{ m^2} C+ \frac q m \left(E-v_{0z}B\right )\Rightarrow$$

$$\frac {q^2B^2}{ m^2} C= \frac q m \left(E-v_{0z}B\right )\Rightarrow C=\frac {m}{qB}\left(E-v_{0z}B\right )$$

$$\therefore\boxed{x=x_M \sin \left(\frac{qB}{m}t\right)+\frac {m}{qB^2}\left(E-v_{0z}B\right )}$$

Fazendo o mesmo procedimento, mas agora substituindo (4) em (3), obtemos:

$$\ddot z=-\frac {q^2B^2}{ m^2}z+\frac {q^2BE}{ m^2} t+ qBv_{0x}$$

A solução será do tipo:

$$x=x_{homo}+C_1 t+C_2 $$

sendo $C_1$ e $C_2$ duas constantes. Derivando duas vezes, substituindo nesta equação, usando a identidade de polinômios obtemos $C_1$ e $C_2$ e a solução final, que é:

$$\boxed{z=z_M \sin \left(\frac{qB}{m}t\right)-\frac {q^2BE}{m^2}t-qBv_{0x}}$$

Assim, a velocidade em função do tempo será dada pela derivada estas posições, ou seja:

$$v=-v_{0x}\cos\left(\frac{qB}{m}t\right) \hat i + v_{oy} \hat j-\left(v_{0z}  \cos \left(\frac{qB}{m}t\right)   +\frac {q^2BE}{m^2} \right)\hat k$$


Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.