Equações de Maxwell e equação da onda eletromagnética

Como chegar na equação da onda usando as equações de Maxwell?

Primeiro vamos relembrar a equação da onda: $$\frac{1}{v^2}\frac{\rm d^2 Y}{\rm d t^2}=\nabla ^2 Y$$

Sendo $$v$$ a velocidade de propagação da onda.

Vamos escrever as equações de Maxwell:

  1. $$\vec \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
  2. $$\vec \nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
  3. $$\vec\nabla\cdot\vec B=\vec 0$$
  4. $$\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$$

Vamos precisar de algum conhecimento de calculo vetorial. Mas a propriedade mais importante é a que se segue:$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec A)=\vec\nabla ( \vec\nabla \cdot A)-\nabla^2\vec A$$

Para começar, vamos aplicar o rotacional na segunda equação de Maxwell:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla ( \vec\nabla \cdot E)-\nabla^2\vec E =-\vec\nabla\times\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

Pela primeira equação, temos:

$$\vec\nabla \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)-\nabla^2\vec E =-\frac{\partial }{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B)$$

Se estivermos estudando um ponto distante de qualquer carga, isto é, se estivermos estudando apenas a relação entre a variação do campo magnético com a alteração do campo elétrico, podemos considerar que não existe cargas no ponto de estudo e portanto $$\vec\nabla \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)=\vec 0$$ Assim:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B)$$

Usando agora a quarta equação de Maxwell, temos:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)$$

Mais uma vez, se estivermos em um ponto distante de qualquer carga, a densidade de corrente também é nula: $$\vec j = \vec 0$$ Portanto:

$$\nabla^2\vec E =\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$

Comparando com a equação da onda:

$$\frac{1}{v^2}\frac{\rm d^2 Y}{\rm d t^2}=\nabla ^2 Y$$

$$\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=\nabla^2\vec E $$

Vemos que a velocidade da “onda elétrica” ve é $$v_e^2=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Assim, podemos reescrever a equação acima:

$$\frac{1}{v_e^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=\nabla^2\vec E $$


 

Usando agora este mesmo processo para calcular a velocidade da “onda magnética” vm, começamos tomando o rotacional do rotacional do campo magnético:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\vec\nabla\times\left(\mu_0\vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\right)\Rightarrow$$

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\mu_0\vec\nabla\times \vec j+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(\vec\nabla\times\vec E\right)$$

Novamente, tomando $$\vec j =\vec 0$$ e usando a segunda equação de Maxwell:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(-\frac{\partial \vec B}{\partial t} \right)=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

Agora, vamos trabalhar o lado esquerdo da equação anterior:

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec B)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot \vec B)-\nabla^2\vec B=-\nabla^2\vec B$$

Note que a última passagem se deve a terceira equação de Maxwell. Portanto:

$$-\nabla^2\vec B=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

Esta é a equação da “onda magnética”:

$$\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}=\nabla^2\vec B\Rightarrow$$

$$\frac{1}{v_m^2}\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}=\nabla^2\vec B$$

Observe que as ondas “magnéticas” e “elétricas” possuem a mesma velocidade:

$$v_e^2=v_m^2=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Isto sugere que as ondas elétricas e magnéticas se propagam juntas formando a onda eletromagnética de velocidade c=ve=vm. Portanto, podemos escrever as equações da onda para o campo magnético e elétrico como se segue:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rm d^2 \vec E}{\rm d t^2}=\nabla ^2 \vec E$$

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rm d^2 \vec B}{\rm d t^2}=\nabla ^2 \vec B$$

$$\rm{sendo} \;\;\;\;\;\;c=\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$

Note que trocamos as derivadas parciais por derivadas totais sem prejuízo algum.


Resolução questão 8 AFA – Física 2002

Mais uma dúvida respondida:

Teria como resolver está questão?
(AFA 2002) Um avião reboca dois planadores idênticos de massa $m$, com velocidade constante. A Tensão no cabo(II) é $T$. De repente o aviao desenvolve uma aceleração a. Considerando a força de resistência do ar invariável , a tensão no cabo (I) passa a ser
a) $T+m\cdot a$
b) $T+2m\cdot a$
c) $2T+2m\cdot a$
d) $2T+m\cdot a$
Obs: desculpe mas não consegui o desenho.

Olá, achei a questão.
http://www.futuromilitar.com.br/portal/attachments/article/17/2002-AFA-Fisica.pdf
É a número 8.


Vamos lá.

Primeiro vamos à figura:

Se os planadores são idênticos e se movem com velo
cidade constante, então a força de resistência do ar é igual em ambos e vale também T (note que o avião II é o de trás e está sujeito às forças peso e de sustentação, que não nos interessa no problema, e a tração e o atrito com o ar, que devem ser iguais para que a resultante seja nula).

Como o fio I transpor ambos os aviões, a tração neste fio deve ser de 2T (para anular o efeito do atrito de ambos os planadores).

Se o avião adquire aceleração a, então o fio I deverá fornecer uma força adicional $F=2m\cdot a$ sendo $m$ a massa de cada planador. Isso porque a força de atrito é invariável, logo o fio deve manter a força inicial e acrescentar $F$, pois o fio I quem “puxa” ambos os planadores.

Espero que tenha entendido: note que o fio I é o responsável por acelerar ambos os planadores.

Resposta: C

 


Adendo:

Na situação inicial, a tensão no cabo II é $T$, conforme desenho a seguir.

afa001

Se pensarmos apenas no planador de trás, a resultante sobre ele é zero (aceleração nula), assim, sobre ele existe uma força de atrito conforme desenho abaixo (só do planador de trás).

afa002

Com isso podemos ver que, se a resultante no avião de trás for zero, então a força de atrito do ar só pode ser igual à de tração: $$F_{at}=T$$

Se os dois planadores são idênticos, então a força de resistência do ar em ambos também são idênticos.

afa003

Vamos agora pensar nos dois aviões como sendo um corpo só, pois o fio I quem puxa ambos, então podemos fazer isso sem prejuízo algum. Vou representar por um retângulo apenas.

afa004

Observe que estamos representando os dois aviões como sendo apenas um corpo. Agora, ainda na situação inicial, podemos afirmar que a resultante é nula. Ou seja, a tração no fio I deve anular as forças de atrito em ambos os planadores. Vamos de novo ao esquema:

afa005

Como se $T=F_{at}\Rightarrow 2T=2F_{at}$, podemos redesenhar da seguinte forma:

afa006

Isso porque não foi dada nenhuma informação sobre a força de atrito, só que a traçção valia $T$.

Agora surge uma nova situação em que o sistema é acelerado. Assim, surge uma tração no fio I

fig007

Voltando para a representação dos dois planadores como sendo o quadrado dos esquemas anteriores, temos:

afa007

Agora sim, vamos usar a segunda lei de Newton. Você deve se lembrar que a resultantes das forças (no caso, a diferença dos módulos $F_{res}=T’-2T$) deve ser igual à massa do sistema acelerado vezes a aceleração $a$: $$F_{res}=m\cdot a$$

A massa total no entanto é $2m$, assim usando a segunda lei de Newton: $$F_{res}=2m\cdot a\Rightarrow T’-2T=2m\cdot a\Rightarrow$$

$$\boxed{T’=2T+2m\cdot a}$$

 

 

 


Aulas Online de Eletrodinâmica

Achei vídeo aulas no youtube do livro do Grifths de Eledodinâmica

Aula 1 de eletrodinâmica

Sejam $$\vec\nabla\times\vec A = \vec C\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.01)$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A = S \;\;\;\;\;\;\;\;(eq.02)$$

Por consistência $\vec\nabla \cdot \vec C =0$. Para que $\vec A$ seja único, temos que $\vec A$ pode ser escrito como:

$$\vec A = -\nabla \phi +\vec\nabla \times \vec F\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.03)$$

onde $$\phi=\frac{1}{4\pi}\int\frac{S(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.04)$$ e $$\vec F=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\vec{C}(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’\;\;\;\;\;\;\;\;(eq.05)$$

Vamos verificar se estas duas últimas relações satisfazem as condições iniciais para o campo vetorial $\vec A$.. Primeiro, vejamos para o divergente:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =\vec\nabla\cdot( -\nabla \phi +\vec\nabla \times \vec F) \Rightarrow$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\vec\nabla\cdot\nabla \phi +\vec\nabla\cdot(\vec\nabla \times \vec F) \Rightarrow$$

Note que $\vec\nabla\cdot(\vec\nabla \times \vec F)=0$ e que $\vec\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi$ (Laplaciano de $\phi$). Assim:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\nabla^2 \phi $$ Substituindo $\phi$:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\nabla^2 \phi =-\nabla^2 \frac{1}{4\pi}\int\frac{S(\vec r’)}{r}\rm {d \tau}’=-\frac{1}{4\pi}\int S(\vec r’)\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right )\rm {d \tau}’\Rightarrow$$

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\frac{1}{4\pi}\int S(\vec r’){\nabla^2}’\left( \frac{1}{r}\right )\rm {d \tau}’$$

Lembrando que $r=\sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}$ e que $\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right )=4\pi\delta(\vec r -\vec r’)$. Assim:

$$\vec\nabla\cdot\vec A =-\int S(\vec r’)\delta(\vec r-\vec r’)\rm {d \tau}’=\int S(\vec r’)\delta(\vec r’-\vec r)\rm {d \tau}’=S(\vec r’ = \vec r) = S$$

Observe a mudança de sinal da integral quando invertemos $\vec r$ com $\vec r’$. Isto ocorre porque o delta de Dirac é em três dimensões, isto é:

$$\delta (\vec r – \vec r’) =\delta (x – x’) \cdot\delta (y – y’) \cdot\delta (z – z’)\Rightarrow$$

$$\delta (\vec r – \vec r’) =\left ( -\delta (x’ – x)\right )\cdot\left (-\delta (y’- y)\right )\cdot\left (-\delta (z’ – z)\right )$$

$$\delta (\vec r – \vec r’) =-\delta (\vec r’ – \vec r) $$

Essa é a primeira parte. Falta agora demonstrar que as equações 05 e 04 em 03 satisfaz 01 (mostramos que satisfazem 02).

Dúvida: questão AFA – 2014

O seguinte comentário foi postado em Pergunte ao Professor Danilo por Dirlei santos:

58 – Um estudante montou um experimento com uma rede de difração de 1000 linhas por milímetro, um laser que emite um feixe cilíndrico de luz monocromática de comprimento de onda igual a m 4$\cdot$10$^{−7}$ e um anteparo, conforme figura abaixo.

afa2015-58
O espectro de difração, observado no anteparo pelo estudante, foi registrado por uma câmera digital e os picos de intensidade apareceram como pequenos pontos
brilhantes na imagem.
Nessas condições, a opção que melhor representa a imagem do espectro de difração obtida pelo estudante é:

a) . . .
b) . . . .
c) . . . . .
d) . . . . . . .


 

Não entendi essa questão, teria como me explicar ? Fica a vontade que eu gosto de física, vou tentar entender ao máximo.


Demorei um pouco para responder porque não queria colocar a resolução apenas com a fórmula: pensei em explicar o que está acontecendo.

Primeiramente, vamos ao que é rede de difração: imagine uma placa com vários cortes ao longo delas, todos paralelos entre si. Os cortes têm largura pouco maior que o comprimento de onda da onda incidente. Um exemplo disso é o cd (ou dvd e o blu-ray). Veja a foto abaixo com um experimento feito em casa com laser verde e um cd sem a parte prateada.

Pedaço de CD

Acima, um pedaço de CD sem a parte metálica. Abaixo o pedaço de CD fixo em um prendedor de papel.CD em um suporte

Ao passar o laser por ele, o que acontece?

Figura de difração da redeOs pontos que você vê é a imagem de difração da rede que existe no cd. Usei o laser verde de comprimento de onda de 532 nm, assim, além de resolver o exercício vamos calcular a distância entre duas linhas no cd. Abaixo, a distância da rede (cd) ao anteparo (parede).

Distância da Rede ao Anteparo

Vamos ao exercício.

Se procurar a solução na internet vai ver que se usam a fórmula

$d \; \rm{sen} \theta = m \lambda $

Vamos demonstrar esta fórmula.

Primeiro, você deve saber um pouco sobre interferência de ondas. Lembra-se que duas ondas emitidas por duas fontes em fase (em fase quer dizer que quando uma onda produzida está “subindo”, a outra também está, e quando está “descendo”, a outra também está) quando as duas se encontram pode haver interferência construtiva e destrutiva?

Se a diferença entre as distâncias percorridas por ambas as ondas for um múltiplo inteiro do comprimento de onda $\lambda$ então ocorrerá uma interferência construtiva. É importante você saber do que estou falando para entender o restante! Se não souber, pode perguntar.

Vamos lá: abaixo está representado o perfil da rede de difração que estamos estudando:

refeDifracao

À esquerda está representado o laser e à direita os pontos de máximos (onde ocorre interferência construtiva). Cada fenda na rede se comporta como se fosse uma fonte emitindo uma onda em fase. Vamos dar um “zoom” na rede e analisar um raio de luz que sai de cada fenda:

interferencia rede

Na figura estão representados os raios que saem da rede e atingem o ponto onde ocorre o primeiro máximo de interferência, isto é, o primeiro ponto brilhante contado do centro para fora, mas desconsiderando o máximo central.

Como a distância entre as fendas $d$ é muito pequena comparada com a distância entre a rede e o anteparo podemos considerar os raios que saem das fendas como paralelos. Na figura à direita está representado um trecho da rede onde está sendo mostrado a distância $d$ entre duas fendas e a diferença de caminho entre dois raios consecutivos, que é dada por $d\;\rm{sen} \theta$. Assim, temos a fórmula, pois a diferença de caminho deve ser um múltiplo inteiro (que chamaremos de $m$) de $\lambda$:

diferença de caminho = número inteiro vezes comprimento de onda

$d \; \rm{sen} \theta = m \; \lambda$

Note que o enunciado nos deu a quantidade de linhas por milímetro, assim sabemos que a distância entre cada fenda é:

$d=\frac{1\; \rm{mm}}{1000}=1\cdot 10^{-6}\;\rm m$

A pergunta é quantos máximos o estudante enxerga no anteparo. Para que apareça um ponto brilhante na parede, é necessário que $\theta < 90^o$, pois se $\theta > 90^o$ a luz foi refletida. Assim, para a condição de $\theta = 90^o$ temos:

$d \; \rm{sen} \theta = m \; \lambda \Rightarrow$

$1\cdot 10^{-6}\;\rm{sen}90^o=m\cdot 4\cdot 10^{-7}\Rightarrow$

$m=\frac{10}{4}\Rightarrow$

$m=2,5$

Como $m$ deve ser inteiro, devemos arredonda-lo para menos, pois $m=3$ implica em $\theta > 90^o$. Assim, temos que $m=2$.

Ou seja, estamos falando do segundo máximo, sem contar o central. Como a imagem é simétrica, temos mais dois pontos do outro lado, isto é, temos 5 pontos de máximos.

$\boxed{\rm{Resposta}\;C}$

Voltando ao nosso exemplo, que montei com um CD,  você deve ter reparado que apareceram apenas três pontos. Mesmo aproximando o CD da parede o número não aumenta.

Vamos tentar calcular o número de linhas por unidade de comprimento do CD?

rede difracao

Por trigonometria, pelo desenho anterior, vemos que

$\rm{tg}=\frac{y}{D}$

Como em nosso experimento $m=1$, $y=7\;\rm{cm}$ e $D=17\;\rm{cm}$, podemos montar o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=m\;\lambda\\
\rm{tg}\theta=\frac{y}{D}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=1\cdot532\cdot10^{-9}\\
\rm{tg}\theta=\frac{7}{17}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow $

$\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=532\cdot10^{-9}\\
\theta=22,38^o
\end{matrix}\right.$

O ângulo eu descobri usando uma calculadora científica. Assim, substituindo o resultado da equação de baixo na equação de cima e usando uma calculadora científica, temos:

$d\;\rm{sen}22,38^o=532\cdot10^{-9}\Rightarrow d\cdot0,381=532\cdot10^{-9}\Rightarrow $
$d=1,397\cdot10^{-6}\;\rm m$

Ou seja, quase 1,4 $\mu$m entre uma ranhura e outra.

O número de ranhuras por milímetro é $\frac{1}{d}$ sendo $d$ em milímetro, ou seja:

$\frac{1}{1,4\cdot 10^{-3} \;\rm{mm}}=714 \; \rm{ranhuras}\;\rm{por}\;\rm{mm}$

Segundo a literatura, o valor é de 625 ranhuras por mm. Não está tão longe assim para um experimento tão simples, feito com régua, em casa.

Vamos voltar ao desenho anterior.

rede difracao

Muitas vezes a seguinte aproximação pode ser feita:

$\rm{sen}\theta\approx\rm{tg}=\frac{y}{D}$

Se assim for, podemos reescrever o sistema anterior tornando-o mais simples:

$\left\{\begin{matrix}
d\;\rm{sen}\theta=m\;\lambda\\
\rm{sen}\theta\approx\frac{y}{D}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\boxed{d=\frac{m\;\lambda\;D}{y}}$


UESB 2015 – Cad 3

Resposta à dúvida postada por felipe em :

Sobre a dúvida: “eu sempre confundo funcao de estado com calor e trabalho . me explique de uma forma mais facil por favor .”, vamos lá.

Função de estado, de forma mais ou menos simplificada, são as variáveis que depende do estado (situação atual do gás, por exemplo). Digamos que você tenha duas amostras de gás à mesma temperatura, com o mesmo volume e mesma pressão. Concorda que a pressão, temperatura e volume são variáveis (grandezas físicas) que não dependem de como você as obteve? Isso seria uma variável de estado!

Melhorando o exemplo: digamos que você aqueça o gás e o expanda, depois o comprima e o faça esfriar até a temperatura inicial. A pressão voltará a situação inicial! Logo estas três grandezas são variáveis de estado. Além delas, uma grandeza um pouco abstrata, a entropia, também é variável de estado.

Calor seria uma energia térmica que você injeta no sistema, por exemplo, acendendo uma chama próxima à um reservatório com o gás em estudo. Fornecendo calor ao gás, você fornece energia à ele.

Há outra forma de fornecer ou retirar energia do sistema sem dar calor. Esta forma é através do trabalho. Por exemplo: se você pegar uma seringa vazia, puxar o êmbolo para enche-la de ar, tapar a saída e empurrar o êmbolo com força o gás sofrerá um pequeno aquecimento. Mas olha que interessante: você aqueceu o gás sem dar calor! Você realizou trabalho sobre o gás, dando-le energia (aquecendo-o).

Espero ter ajudado na sua dúvida.

Sobre a questão 14, da provas disponível em http://www.comportall.com.br/provas/UESB2015_cad3.pdf e transcrita abaixo:

Escutam-se com frequência pedidos para que se conserve energia. De acordo com a 1$^a$ lei da Termodinâmica, a energia sempre se conserva, embora algumas formas de energia sejam mais úteis do que outras.

Com base nos conhecimentos da Termodinâmica, analise as afirmativas e marque com V as verdadeiras e com F, as falsas.

( ) O rendimento de uma máquina térmica é a razão entre trabalho efetuado pela máquina e o calor recebido do reservatório quente.

( ) É possível remover energia térmica de um único reservatório e convertê-la completamente em trabalho, sem que ocorram outras mudanças.

( ) A máquina de Carnot é uma máquina reversível, que opera entre dois reservatórios, efetuando ciclos de Carnot.

( ) A entropia, tal como a pressão, o volume, a temperatura e o calor, é uma função do estado de um sistema.

A alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo, é a

01) F F V V

02) F V F V

03) V V F F

04) V F V F

05) V F F V

Resolução:

Primeira afirmativa: “O rendimento de uma máquina térmica é a razão entre trabalho efetuado pela máquina e o calor recebido do reservatório quente.” Isto está correto, pois o rendimento se refere à eficiência da máquina, isto é, a razão entre o que se deseja obter (trabalho) e o custo pago (calor retirado da fonte quente): $$\eta=\frac{\tau}{Q_{quente}}$$

Segunda afirmativa: “É possível remover energia térmica de um único reservatório e convertê-la completamente em trabalho, sem que ocorram outras mudanças.” Falso: considero a frase um pouco imprecisa, pois na verdade seria impossível remover energia térmica e convertê-la completamente em trabalho se estivermos pensando em um ciclo termodinâmico, isto é, a cada certo intervalo de tempo o sistema retorna ao seu estado original. A afirmativa seria verdadeira se pensarmos em um processo: por exemplo, num processo isotérmico (não num ciclo) todo o calor pode ser transformado em trabalho (pela primeira lei da termodinâmica: $Q=\Delta U + \tau$). Porém o que esta questão provavelmente queria avaliar é o conhecimento do candidato sobre a impossibilidade de criar uma máquina térmica com rendimento de 100%.

Terceira afirmativa: “A máquina de Carnot é uma máquina reversível, que opera entre dois reservatórios, efetuando ciclos de Carnot.” Correto: o ciclo de Carnot é um ciclo que não altera a entropia total do universo. Sistemas cuja entropia não varia são sempre reversíveis e isto tem a ver com o fato de que é o ciclo de Carnot que possui a maior eficiência possível.

Quarta afirmativa: “A entropia, tal como a pressão, o volume, a temperatura e o calor, é uma função do estado de um sistema.” Falso: a entropia, a pressão, a temperatura e o volume são variáveis de estado, já o calor não.

RESPOSTA: 04


Material CEC – Poliedro Itatiba (Desde 2016)

Neste post estou disponibilizando todos os materiais que estou produzindo desde o ano de 2016 para o curso pré vestibular de Itatiba, o CEC – Poliedro.

Alunos e usuários em geral, fiquem a vontade para perguntar, criticar, elogiar e pedir ajuda em algum conteúdo específico.

Aperte a tecla “End” se quiser postar algum comentário (como dúvidas, erratas, e outros). Observo que os arquivos antigos não serão revisado e portanto erros não serão corrigidos. Este post é para manter um histórico do material e se você não for meu aluno e quiser este material para estudar, recomendo que use os arquivos mais recentes, caso já disponível.

UMA MUDANÇA IMPORTANTE ESTÁ OCORRENDO AQUI: no ano de 2016 eu dava aulas no curso diurno que tinha mais tempos (maior número de aulas e aulas maiores). Tendo em vista que este ano estou com a turma do noturno quinzenada, teremos menos tempo e por isso colocarei apenas slides principalmente de conteúdos que considero importante o bastante para passar, mas não o bastante para priorizar no pouco tempo que temos em aula.

Acredito que muitos dos meus alunxs trabalham, por isso disponibilizo estes materiais para tentar evitar que elxs percam tempo pesquisando na internet. Nestes materiais teremos exercícios resolvidos e conteúdos teóricos também.


 

CEC – Poliedro Itatiba 2017

Diferente do que fiz no ano passado, neste ano disponibilizo apenas um link para uma pasta compartilhada do DropBox. Divirtam-se:

https://www.dropbox.com/sh/ywqv5sv1nntqz7l/AAAROsEobBz5hOl4Hv5sezHca?dl=0


 

CEC – Poliedro Itatiba 2016


Material Elite Campinas (Desde 2016)

Aperte a tecla “End” se quiser postar algum comentário (como dúvidas, erratas, e outros). Observo que os arquivos antigos não serão revisado e portanto erros não serão corrigidos. Este post é para manter um histórico do material e se você não for meu aluno e quiser este material para estudar, recomendo que use os arquivos mais recentes, caso já disponível.


ELITE CAMPINAS 2018 

1$^o$ EM

Material primeiro colégio 2018

2$^o$ EM

Material segundo colégio 2018

3$^o$ EM

Material Terceiro colégio 2018

PRÉ VESTIBULAR

Material pré-vestibular 2018

 

 


 

ELITE CAMPINAS 2017 

 

1$^o$ EM

Material primeiro colégio 2017 e folhas preenchidas AQUI!

2$^o$ EM

Material segundo colégio 2017 e folhas preenchidas AQUI!

3$^o$ EM

Material Terceiro colégio 2017 e folhas preenchidas AQUI!

PRÉ VESTIBULAR

Material pré-vestibular 2017 e folhas preenchidas AQUI!

 


 

ELITE CAMPINAS 2016 

Neste post você poderá baixar todo o material de física que desenvolvi para uso no curso e colégio Elite Campinas.

Material Rec TODAS as turmas

1$^o$ EM

Material primeiro colégio 2016

2$^o$ EM

Material segundo colégio 2016

3$^o$ EM

Material Terceiro colégio 2016

PRÉ VESTIBULAR

Material pré-vestibular 2016

3$^o$ EM

Experimentos feitos com o terceiro ano: aula de ótica.

O EXPERIMENTO

20160520_214555 20160520_214604 20160520_214611

RESULTADO DO EXPERIMENTO

20160520_214527

20160520_214415

20160520_214531

Você pode ver o experimento que inspirou esta aula aqui

PRÉ VESTIBULAR

Gifs usados em Aulas

1 2 3 4 5 6

 

 

 

 

 

 

 

output_hp63Jv

TODAS

 

 

 

 

MOVIMENTANDO

 

 

 


Efeito Doppler – demonstração – onda mecânica

Apresentarei aqui uma forma alternativa de se demonstrar a fórmula do efeito Doppler para ondas sonoras. Como pré-requisito, você deverá saber calcular a velocidade relativa a um corpo em sua forma vetorial (se tiver dúvidas sobre isso consulte aqui).  Vou direto à demonstração e recomendo que já tenha uma noção do que é efeito Doppler. Vamos começar:

Seja uma onda qualquer produzida por uma fonte emissora E e um observador O, com velocidades, respectivamente, iguais à $\vec{v}_E$ e $\vec{v}_O$. Sabemos que a equação fundamental da ondulatória é:

$$v=\lambda \cdot f$$

Perguntinha: o que é $v$? Velocidade, certo? Mas de que e em relação à que ou à quem? A resposta é que $v$ é a velocidade da onda no referencial de quem mede a frequência $f$, ou seja, para o observador O, a velocidade da onda $v=v_O$ é a velocidade da onda sonora medida em relação à O que mede uma frequência $f_O$, assim como para a fonte, $v=v_E$ é a velocidade da onda sonora medida no referencia de E que percebe uma frequência $f_E$. Resumindo, para a fonte e para o observador, temos a equação fundamental da ondulatória:

$$\left\{\begin{matrix}
v_{SomE}=\lambda_E \cdot f_E\\
v_{SomO}=\lambda_O \cdot f_O
\end{matrix}\right.$$

Na forma vetorial, a velocidade do $\vec{v}_S$ é medida em relação ao ar. A velocidade do som em relação ao emissor é $\vec{v}_{SomE}$ é:

$$\vec{v}_{SomE}=\vec{v}_S-\vec{v}_E$$

A velocidade do som em relação ao observador é $\vec{v}_{SomO}$ é:

$$\vec{v}_{SomO}=\vec{v}_S-\vec{v}_O$$

O comprimento da onda é, por exemplo, a distância entre duas cristas da onda, e pode ser definido como a distância entre dois pontos fixos em duas cristas consecutivas. Como distância entre dois pontos não depende do referencial, temos que $\lambda_E=\lambda_O$, ou seja:

$$\frac{|\vec{v}_{SomE}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_{SomO}|}{f_O}$$

O módulo surge porque estamos comparando dois números positivos (escalares): os comprimentos de onda medidos em referenciais diferentes.

Assim:

$$\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{E}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{O}|}{f_O}$$

Esta já é a equação do efeito Doppler e a demonstração está terminada! Entretanto, esta fórmula pode ser muito útil ou mesmo inútil para você dependendo do seu grau de entendimento sobre a forma vetorial de cálculo de velocidade relativa, por isso recomento que leia o conteúdo do link abaixo:

http://www.professordanilo.com/teoria/aula104_MOVIMENTO_UNIFORME.html#relativa

Sugiro que leia do item “VELOCIDADE RELATIVA” para baixo.

EXEMPLOS CLÁSSICOS:

Considerando que você tenha lido o material acima, podemos então escrever a equação do efeito Doppler da seguinte forma:

$$\frac{f_O}{v_{SomO}}=\frac{f_E}{v_{SomE}}$$

Sendo que $v_{SomO}$ e $v_{SomE}$ são as velocidades do som (que vai do emissor para o observador) em relação ao observador e emissor, respectivamente.

Por exemplo, se o observador está indo na direção do emissor, então a velocidade do som e do observador estão em sentidos opostos, logo $v_{SomO}=v_S+v_E$ (soma-se os módulos das velocidades). Se o observador se afasta, subtrai-se os módulos das velocidades, pois a velocidade do som em relação ao ar está na mesma direção que a velocidade do observador.

A ideia se repete para o emissor: indo na direção do observador subtraem-se as velocidades e na direção oposta ao observador somam-se as velocidades.

 

Qualquer dúvida, postem aí.


Material Download (revisão de ótica)

Aqui disponho alguns materiais de ótica. São slides, em formato pdf, para darem aquela revisada antes da segunda fase.

Vamos começar com lentes esféricas: BAIXE AQUI! Você pode baixar e imprimir um material complementar para usar enquanto vê os slides. Clique AQUI para este material complementar.

Como 2015 fez 25 anos do Telescópio espacial Hubble, pode ser que caia alguma questão sobre o assunto. Pensando nisso, disponibilizo um material sobre instrumentos óticos. BAIXE AQUI este material. Você pode baixar também o material para impressão clicando AQUI!

Espero que estes materiais sejam úteis.


História de Caconde

Há alguns anos eu fui um dos colaboradores do verbete “Caconde” na Wikipedia. Por alguma razão, desconhecida por mim, boa parte do texto que existia e toda a minha contribuição foi simplesmente retirada do site, no entanto é possível ver edições anteriores e, inclusive, restaurar o texto, coisa que tentei fazer, mas não consegui (não me lembro qual erro ocorreu – acho que era por não estar cadastrado).

Muitos podem questionar a veracidade das informações do referido site, e com muita razão o fazem, entretanto há pouca informação sobre a cidade na web e por isso tomei a liberdade de copiar o texto e colar aqui.

Fiz isso na íntegra, sem editar qualquer parágrafo. Segue texto abaixo:

——————————————————————————————————————–

Estância climática

Caconde é um dos 12 municípios paulistas considerados estâncias climáticas pelo Estado de São Paulo, por cumprirem determinados pré-requisitos definidos por Lei Estadual. Tal status garante a esses municípios uma verba maior por parte do Estado para a promoção do turismo regional. Também, o município adquire o direito de agregar junto a seu nome o título de Estância Climática, termo pelo qual passa a ser designado tanto pelo expediente municipal oficial quanto pelas referências estaduais.

História

Em seu brasão há a orativa: “AEQUE AURUM AURA” que significa algo como “Tal como ouro à altura“. É interessante notar que seu nome não possui uma origem certa. Especula-se que venha do tupiQUAQUEONDE” (“Lugar por onde passaram muitos“) ou através de escravos, visto que há na África uma região chamada Caconda. Freguesia de Nossa Senhora da Conceição do Bom Sucesso das Cabeceiras do Rio Pardo era o nome dado à região compreendida por São José do Rio Pardo, Sapecado (atual Divinolândia), Barrânia, Caconde e Tapiratiba. O último município a se emancipar foi Tapiratiba. Barrânia permanece um distrito pertencente ao município de Caconde.

Descobrimento

É ao Capitão Pedro Franco Quaresma, que é atribuído o descobrimento de minas de ouro em terras do atual município de Caconde. Segundo os documentos oficiais, sabe-se que, em 1755, Pedro Franco, descobriu o Arraial de Jacuí, bem próximo à região de Caconde, e também, foi quem tomou posse, em 7 de outubro de 1775, do lugar denominado “Borda da Mata” (situado no atual Município de Mococa). A mais importante figura da história antiga de Caconde é o sertanista Sargento Jerônimo Dias Ribeiro, foi ele que deu a primeira notícia oficial da descoberta de ouro nas terras de Caconde: ele a comunicou a D. Luís Alexandre de Souza Menezes, que era governador de Santos, em uma carta datada de 20 de agosto de 1765. Entretanto, este sertanista e militar desconhecia que o governo de São Paulo havia sido restabelecido e que era capitão general D. Luis Alexandre de Souza Menezes, esta é razão pela qual a carta foi enviada ao Governo de Santos ao invés de São Paulo. “Nossa Senhora da Conceição das Cabeceiras do Rio Pardo” é o nome que os antigos registros históricos de 1765 apontam como dado à localidade descoberta. O local do Descoberto recebeu o nome da Padroeira, que segundo o Regimento das Minas de 1769 (art. 2.º) devia receber o nome do santo da devoção do descobridor. Explica-se ao fato de o nome de Nossa Senhora da Conceição ocorrer em tantas localidades no Brasil, pela atitude devocional de D. João IV, primeiro rei da Dinastia de Bragança, que colocou a coroa real aos pés de Nossa Senhora da Conceição de Vila Viçosa, e a elegeu Rainha e Padroeira de Portugal e Algarves. Com a notícia da descoberta do ouro e de que este era farto (o que não era verdade, já que os resultados eram bem menos que o esperado), o povoado se desenvolveu as margens do Ribeirão Bom Sucesso.

Elevação à freguesia

Abertura do primeiro livro de batismos da nova freguesia

Com o aumento da população em volta ao Ribeirão do Bom Sucesso, o povoado de garimpeiros(na maioria agricultores) foi elevado à categoria de Freguezia, sendo nomeado como Comandante do Registro do Bom Sucesso o Alferes Jerônimo Dias Ribeiro e como Vigário da Vara, com o mandado de fundar a nova Freguesia, o Padre Francisco Bueno de Azevedo, do clero secular da Diocese de São Paulo. É portanto, o Padre Francisco Bueno de Azevedo o primaz fundador da Cidade de Caconde. Segundo o historiadorAdriano Campanhole, o dia 2 de março de 1775, é a data que deve ser considerada como fundação da primitiva freguesia, pois o registro de abertura do Primeiro Livro de Batizados, ainda existente na Cúria Diocesana de São João da Boa Vista, foi aberto e datado nesta data. A Paróquia de Caconde foi fundada pelo Padre Francisco Bueno de Azevedo, por ordem de Dom Frei Manuel da Ressurreição, terceiro Bispo de São Paulo, e denominada eclesiasticamente com o nome de: Freguesia de Nossa Senhora da Conceição do Bom Sucesso do Rio Pardo. A Paróquia de Caconde foi desmembrada da vigararia de Mogi Mirim e quanto ao paroquiato de Mogi Guaçu. O mais antigo registro de batizado que se tem notícia têm data de 11 de junho de 1775.

Com fundamento em uma citação atribuída ao primeiro historiador de Caconde, o comendador José Umbelino Fernandes Júnior, uma tradição eclesiástica aponta o dia 19 de março de 1775 como o dia em que tomou posse em suas funções o padre Francisco Bueno de Azevedo e permite que a Igreja comemore este dia como o da fundação da paróquia.

Sabe-se que o povoado entrou em decadência em razão da escassez de ouro, e que tendo falecido o padre Francisco Azevedo, a antiga Capela permaneceu, mesmo estando em ruínas e sem vigário. A Capela ficou, por muitos anos, vinculada à paróquia de Minas Gerais, como bairro do Bom Sucesso. Comprovado é que existiram núcleos populacionais no Bairro de São Mateus e no Bairro Bom Jesus, mas a Igreja Matriz sempre esteve no Bairro do Bom Sucesso. Hoje afirmado em documentos sabe-se também que a freguesia não se extinguiu e nem a população, como muitos pensavam, se transferiu de lugar por causa da descoberta de ouro, por Inácio Preto de Morais no ano de 1781, na Barra do Bom Jesus.

Um fato importante para o desenvolvimento de Caconde, foi que entre os anos de 1799 e 1808, com a escassez do ouro, os que se dedicavam à agricultura permaneceram na terra e muitos outros vieram assenhorear-se requerendo sesmarias, ou mesmo, obtendo glebas por compra e posse. Também entre os anos de 1810 e 1811 houve numerosas posses e pedidos de sesmarias. Então, em substituição ao ciclo do ouro vem o ciclo da agricultura e pastoreio.

A data de 27 de junho de 1820 é a que registra o último falecimento tombado no livro de «enterramentos» no Cabo Verde e no Bom Sucesso.

Restauração da cidade

Igreja Matriz de Caconde, ano de 1909

A restauração da freguesia de Caconde, no local onde se encontra hoje, foi de iniciativa do alferes Manuel Alves Moreira Barbosa e do capitão Alexandre Luís de Melo, que suplicaram ao visitador diocesano padre Antônio Marques Henrique, quando este passou em 8 de agosto de 1818 na Paróquia de Cabo Verde (Minas Gerais). Ratificando o desejo de restauração por parte civil, eles também enviaram uma carta em 29 de fevereiro de 1820, ao capitão-mor de Mogi Mirim, José dos Santos Cruz, pedindo patrocínio para obtenção de licença de construção de nova Capela, pois a antiga no Bom Sucesso, se encontrava em ruínas.

Foi o bispo de São Paulo, Dom Mateus de Abreu Pereirabispo de São Paulo, quem concedeu a Provisão para a Restauração da antiga freguesia e construção da Nova Igreja Matriz em 28 de junho de 1820. Nesta mesma Provisão, o bispo, encomendou ao padre Carlos Luís de Melo, que foi ordenado em 1819, celebrar os ofícios divinos em uma casa particular até que terminasse a construção da nova Matriz. Afirma o historiador Adriano Campanhole, que a data da restauração de Caconde, no local onde se encontra hoje, é esta, ou seja a da Provisão: 28 de junho de 1820, ao invés de 24 de dezembro de 1824, como afirmara o comendador José Umbelino Fernandes Júnior.

No dia 28 de dezembro de 1822, na Fazenda do Bom Jesus, o casal Miguel da Silva Teixeira e Maria Antônia dos Santos fez a doação de um quarto de légua em quadra (na légua antiga de 6.600 metros ou 3.000 braças são 51, 5 alqueires de 48.000 m² – na légua atual de 6.600 metros, são 103 alqueires) à Padroeira Nossa Senhora da Conceição, para o Patrimônio da construção da Nova Matriz e restauração da Freguezia. Os doadores era senhores de muitas terras, eles possuíam 1.022 alqueires. Miguel da Silva Teixeira teve o mérito de ser o doador do Patrimônio, seu nome devia estar incluído entre os que assinaram a petição para restauração da freguesia , é ele um dos fundadores e não o único fundador. O Paço Municipal de Caconde, em homenagem a Miguel, chama-se oficialmente “Paço Municipal Miguel da Silva Teixeira”.

Doado o terreno, inicia-se a construção da Igreja Matriz, no local onde está hoje. É de tradição, que a primeira missa em Caconde foi celebrada nas vésperas do Natal, em 24 de dezembro de 1824. Essa data é incorreta, pois as missas eram celebradas em casa particular, como consta da Provisão do Padre Carlos de Melo. A missa das vésperas de Natal de 1824, a qual o historiador, o Comendador José Umbelino Fernandes, narra longamente na primeira Resenha Histórica de Caconde, publicada em 24 de dezembro de 1924 chamada de “Polianthéa”, foi sim, a missa de inauguração do altar-mor da Igreja Matriz e não a primeira missa celebrada na freguesia restaurada.

A primeira casa construída no patrimônio de Caconde situava-se à margem direita do córrego do cemitério, no local então conhecido por Samambaia. Outras casas devem ter sido erguidas no local, pois a água facilitava a sobrevivência. A casa pertenceu a Joaquim da Silva (alcunhado com apelido de “Guerra”), cujo mesmo diziam ser parente de Miguel da Silva. A edificação era de pau-a-pique, mas coberta de telhas.

Em 1828, a Igreja Matriz já obtivera provisão e bênção e compunha-se, unicamente, de capela-mor. A primitiva Igreja Matriz, como consta numa foto de 1909, possuía uma porta frontal e duas portas de cada lado, com degraus de pedra. Era coberta de telhas e possuía duas torres. Na parte frontal três varandas, com um cruzeiro na frente e junto dele um chafariz.

Vida política

Ficheiro:Adriano Campanhole.jpg

O historiador Adriano Campanhole

Em 1828, a população do povoado era de cem habitantes e 1600 em toda freguesia. Pertencia a Mogi Mirim. Após movimento para iniciar a vida política, em sessão de 6 de abril de 1828, a Câmara Municipal de Mogi Mirim nomeou o capitão Domiciano José de Sousa para exercer o cargo de juiz de Paz, José Barbosa Guimarães para suplente e Joaquim Alves Moreira para o cargo de escrivão. Nesse mesmo ano, a Câmara de Mogi Mirim autorizou na freguesia de Caconde três eleitores e procedeu a qualificação dos eleitores que estariam aptos para eleger pelo voto direto o juiz de Paz e seu suplente.

Em 8 de dezembro de 1828, na Igreja Matriz realizaram-se as primeiras eleições, presididas pelo juiz de paz Domiciano de Souza e pelo padre Carlos Luís de Melo. Foram eleitos: capitão Domiciano José de Sousa, Vigilato José de Sousa, Padre Carlos Luís de Melo, Flávio Antônio Martins Ferreira, José Custódio Dias, Francisco Ribeiro do Vale e Joaquim Alves Moreira. O movimento para elevar a freguesia de Caconde, a vila iniciou-se no ano de 1863, cujo projeto de lei foi apresentado na Assembleia pelo deputado Casimiro Macedo e após inúmeras discussões foi aprovado em 31 de março de 1864. O presidente da província sancionou a Lei nº 6 em 5 de abril de 1864, elevando a freguesia de Caconde à categoria de vila.

A primeira eleição para vereadores ocorreu em 7 de setembro de 1864, quando Caconde possuía 734 eleitores, sendo a Câmara Municipal instalada em 21 de janeiro de1865. Caconde pertenceu às comarcas de Jundiaí, 1775; Itu, 1811; Campinas, 1833; Franca, 1839; Mogi Mirim, 1852; Casa Branca, 1872.

Preocupada em ter uma justiça própria, em 10 de março de 1866, a Câmara Municipal iniciou o trabalho, visando à nomeação de um juiz formado para prestação da Justiça e desvinculado de Casa Branca. Este trabalho perdurou até 25 de fevereiro de 1874, quando o deputado Antônio Pinheiro Hulha Cintra, em sessão de 25 de fevereiro de 1874, apresentou projeto de lei para destacar «os termos de Caconde e São Sebastião da Boa Vista» da Comarca de Casa Branca.

A 24 de março de 1874, é então, sancionada a lei nº 10, criando a Comarca de primeira Entrância de Caconde, compreendendo os termos de Caconde e São Sebastião da Boa Vista (atual Mococa). Criada a comarca com o nome de “Comarca de Caconde”, porém a sede desta era em Mococa. A comarca sempre foi comarca de Caconde, a de Mococa é que foi desmembrada em 1892. A instalação da mesma se realizou no dia 14 de dezembro desse ano.

Foi sancionada a lei nº 10, em 9 de março de 1883, elevando à categoria de cidade a vila de Caconde.

É feita a aquisição dos terrenos do Patrimônio da Fábrica da Igreja Matriz pela Câmara Municipal a 15 de julho de 1912. A Câmara se comprometeu a fornecer gratuitamente água potável para a casa paroquial e energia elétrica para a mesma casa e para a Igreja Matriz, destinada à iluminação comum. Ficou isenta, a dita casa paroquial, do imposto predial presente e futuro e remida da dívida anterior.

A Igreja passou por reformas no período de 1917 a 1920. Inicia-se, neste ano, a reforma das torres, desaparecendo as duas torres para construir apenas uma central, cuja obra terminou provavelmente em 1924, possivelmente para a comemoração do centenário da fundação da cidade e de sua primeira missa. Em 8 de dezembro de 1939, festa da Padroeira, a Igreja já contava novamente com duas torres, inauguradas nesse dia.

A lei nº 2.694, de 3 de novembro de 1936, cria o distrito de Paz de Santo Antônio da Barra, no município e comarca de Caconde, com o território que pelo convênio de 28 de setembro findo, passa de Minas Gerais para São Paulo. Ate então, o distrito era parte integrante de Cabo Verde (Minas Gerais) desde a sua criação em 25 de setembro de1893, pelo Barão de Cabo Verde – Luís Antônio de Morais Navarro, através da lei municipal nº 10 de Cabo Verde.

Deu-se o nome de Barrânia ao distrito da Barra pelo decreto n.º 14.334, de 30 de novembro de 1944. No ano de 1947, é editado o primeiro Livro do historiador Adriano Campanhole, intitulado “Caconde”, discorrendo sobre a História da cidade.

A lei nº 555, de 28 de novembro de 1961, dispõe sobre a criação do brasão de armas da cidade de Caconde. Era prefeito na época, José Orrico. A bandeira do município de é composta de um retângulo branco em cujo centro está estampado o brasão de armas.

O projeto de lei de transformar Caconde em estância climática, era do deputado Mantelli Neto, tendo sido vetado integralmente em 19 de janeiro de 1966. Iniciou-se então, grande luta pelo não acolhimento do veto, da qual participaram Benedito de Oliveira Santos e Adriano Campanhole. Caconde é então, constituído em estância climática pela lei nº 9.275, de 5 de abril desse ano.

Entra em 1966, em operação comercial a Usina Hidrelétrica Caconde, situada a 7, 1 quilômetros da cidade, na Represa do Rio Pardo, com 38, 72 quilômetros de extensão.

A pedido duma comissão presidida primeiramente pelo padre Nivardo e depois pelo padre Pedro Jarussi em junho de 1955, começa a reforma das duas torres da Igreja Matriz, que foram modificadas junto com a parte interne e externa (naves laterais) para alcançar, então, o estilo românico puro que ostenta até os dias atuais, seguindo o projeto do arquiteto Bruno Simões Magro, que era professor aposentado da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo e ex-diretor da Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da mesma Universidade. Para o interior da Igreja Matriz, foram contratados os trabalhos do genial pintor cacondense o professor Edmundo Migliaccio, que fora professor aposentado do Liceu de Artes e Ofícios de São Paulo. Resultaram então, três telas a óleo em estilo clássico, retratando a padroeira a “Imaculada Conceição” (doada pelo pintor em contribuição às obras de reforma da Matriz), a “Assunção de Nossa Senhora” e Jesus “Crucificado”.

A Igreja Matriz, foi inaugurada e Sagrada por Dom Tomás Vaquero, bispo de São João da Boa Vista, em 19 de março de 1975, quando a paróquia festejou o bicentenário de sua fundação.

Foi editado em 1979 o segundo livro do historiador Adriano Campanhole, intitulado Memória da cidade Caconde: freguesia antiga de Nossa Senhora da Conceyção do Bom Sucesso do Rio Pardo.

A lei nº 483, de 1987, oficializou o Hino a Caconde, composto em 1965 por Maria Ruth Luz e Paulo Cerqueira Luz. No dia 7 de dezembro de 2004, nas I Vésperas da Festa da Imaculada Conceição de Maria, sesquicentenário do Dogma, por ocasião dos 230 anos da fundação da paróquia no Bom Sucesso, dos 180 anos da primeira missa (missa de inauguração do Altar da Matriz) e fundação de Caconde no local onde se encontra hoje e também dos trinta anos da bênção e sagração do novo altar da Igreja Matriz, Dom David Dias Pimentel, bispo de São João da Boa Vista, concedeu por decreto diocesano a elevação da Paróquia Imaculada Conceição ao título de “Santuário Imaculada Conceição”.

A lei municipal, nº 2255, de 14 de dezembro de 2005, criou a Semana Cultural “Presidente Ranieri Mazzilli e instituiu feriado municipal o dia 27 de abril, data de aniversário do homenageado”.






Dúvida Respondida

Pergunta:

Professor, gostaria que o senhor pudesse resolver uma questão que eu estou com dúvida, eu não estou conseguindo colocar ela aqui então vou deixar o link:

http://www.comportall.com.br/provas/UESB2015_cad3.pdf

É a questão número 7 da prova de física,Muito obrigado pela atenção e pela ajuda.

A questão:

UESB2015_cad3_EX07

A figura mostra um bloco A de massa 2,0 kg pendurado por uma corda ideal, que passa através de uma roldana sem atrito e de massa desprezível e conectada a outro bloco B de massa 3,0 kg, em repouso, sobre uma superfície cujo coeficiente de atrito cinético é igual a 0,2. Considerando-se que o bloco B é empurrado contra uma mola, comprimindo-a em 20,0 cm, e depois solto, que a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 , e que a velocidade dos blocos A e B é igual a 2,0 m/s, quando o bloco A tiver descido uma distância d = 50,0 cm, após terem sido soltos, a constante elástica da mola, em N/m, é igual a

01) 120

02) 130

03) 140

04) 150

05) 160

RESOLUÇÃO

Podemos resolver usando o Teorema da Energia Mecânica: este teorema nos diz que o trabalho de uma força dissipativa – em nosso caso a força de atrito – é igual à variação da energia mecânica. Assim:

$$\tau_{Fat}=\Delta E_{mec} \Rightarrow$$

$$-\mu \cdot m_B \cdot g \cdot d= \left ( m_B \cdot g \cdot H + \frac{m_A \cdot v^2}{2}+\frac{m_B \cdot v^2}{2} \right ) –$$ $$ \left ( \frac{k \cdot x^2}{2}+m_B \cdot g \cdot H + m_A \cdot g \cdot d \right )$$

Note que adotei o referencial para a energia potencial nula a linha tracejada da figura. Observe ainda que o trabalho da força de a

Substituindo os dados:

$$-0,2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot0,5= \left (  \frac{2 \cdot 2^2}{2}+\frac{3 \cdot 2^2}{2} \right ) – \left ( \frac{k \cdot 0,2^2}{2}+ 2 \cdot 10 \cdot 0,5 \right ) $$

Note que a Energia Potencial Gravitacional do corpo B é constante, logo a variação dela é nula. Finalizando os cálculos:

$$-3=4+6-(0,02k+10)\Rightarrow$$

$$0,02k=3\Rightarrow$$

$$k=150 \rm{N/m}$$


Unicamp muda gabarito de uma das questões de Física.

Uma das questões de física da Unicamp foi divulgada com uma resposta errada. Hoje a Comvest divulgou uma nota da correção.
Veja mais no site:
https://www.comvest.unicamp.br/vest2016/F1/esclarecimento.html

As equivalêsncias são:
A questão é a seguinte, em cada uma das provas:

PROVAS Q E Z

Questão 4. Alternativa correta: c.

PROVAS R E Y

Questão 73. Alternativa correta: c.

PROVAS S E X

Questão 54. Alternativa correta: c.

PROVAS T E W

Questão 29. Alternativa correta: c.


XXV Oficina de Física “Cesar Lattes”

Participei da XXV Oficina de Física “Cesar Lattes”, realizada no auditório do Instituto de Física “Gleb Wataghin”, IFGW/UNICAMP.

Os temas abordados foram:

  • Ensino de Física, Enem e as Escolas: uma parceria possível”, Prof. Maurício Kleinke (IFGW/UNICAMP)
  • “A intuição engana: erros comuns e concepções prévias acerca do movimento dos corpos”, Prof. Rickson Mesquita (IFGW/UNICAMP)
  • A interdisciplinaridade e o ensino de Física”, Profa. Maria Gebara (UFSCAR)
  • “O Efeito Fotoelétrico: Um experimento que mudou a história da Física”, Prof. Leandro Tessler (IFGW/UNICAMP)
  • “Concepções erradas frequentes em Eletromagnetismo”, Prof. Mário A. Bernal (IFGW/UNICAMP)

Particularmente, gostei muito das duas primeiras apresentações, entretanto todas elas foram interessantes no sentido de que durante as apresentações já houve participação da platéia. Mas vou descrever um pouco sobre o que achei mais interessante nas duas primeiras palestras.

A primeira informação à qual me interessei e que começou a ser discutida ainda antes das apresentações foi a respeito da BNCC (Base Nacional Comum Curricular). Se você não sabe o que é, sugiro que procure se informar, assim como estou fazendo, pois se trata basicamente de uma base curricular (como o nome já diz) que não vai somente nortear o sistema, como já fazem os PCNs, mas sim tornar-se-á obrigatória.

De forma resumida, a BNCC tornaria obrigatório o ensino de Cinemática e Termologia e Termodinâmica no primeiro ano do ensino médio; Eletromagnetismo, ótica e ondulatória no segundo colégio; o terceiro colégio teria basicamente física moderna indo desde radioatividade à criação do Universo. Para mais detalhes consulte o site oficial: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/#/site/conhecaDisciplina

Você pode acompanhar discussões abertas sobre o tema no site da Sociedade Brasileira de Física (http://www1.fisica.org.br/bncc/forum/). Você pode achar mais conteúdos e lugares para discutir as demais disciplinas.

Vamos então à primeira palestra: basicamente, o que mais achei interessante é que o MEC disponibiliza para download uma base de informações a respeito do desempenho dos alunos bem como as respostas de seus questionários socioeconômicos e o apresentador da palestra (Prof. Maurício Kleinke) debateu sobre possíveis razões de erros de algumas questões do Enem 2012 (por que 2012? Porque era o ano que o Mec havia liberado os dados, uma vez que há um certo delay para que o Mec libere os dados). Algumas questões se mostraram inúteis (pois o índice de acerto era muito próximo dos 20%, algo em torno do índice de chutes), outras mostrava como certas concepções são comuns entre as pessoas. Por exemplo: os alunos não conseguem fazer alusão direta de potência com energia.

Sem muitas delongas, pois disseram que as apresentações seriam disponibilizadas e, assim que conseguir, postarei aqui, vou comentar sobre a segunda palestra que achei muito interessante. Estou falando da apresentação com tema “A intuição engana: erros comuns e concepções prévias acerca do movimento dos corpos” do Prof. Rickson Mesquita.

Me surpreendi que mais de 30% dos alunos do curso de Física I da Unicamp (isto é alunos, que supostamente passaram por um processo seletivo rigoroso, entraram na Unicamp para estudar a sua área de interesse) possuem pensamentos fortemente enraizados nas teorias de Aristóteles, principalmente sobre o Impetus. O resultado fica muito mais alarmante quando o teste é feito em escolas da rede pública, tanto nos anos finais do ensino fundamental como nos três anos do médio: praticamente nenhum aluno possuía de forma clara a forma de pensamento Newtoniano.

Outra parte interessante da palestra foi quando o Professor Rickson Mesquita apresentou um teste feito nos EUA em estudantes do MIT (se não me engano): alguns estudantes foram selecionados para testar um aparelho que mede a atividade cerebral ao longo do dia. Os estudantes deveriam marcar as atividades que estava fazendo, tal como dormir, ver tv, assistir aula, fazer suas tarefas de casa, estudo autônomo, relaxamento e convívio social. Me surpreendeu saber que ao assistir aula o aluno teve uma atividade cerebral durante a aula tão baixa quanto a que teve vendo tv e relaxando (o professor apresentou o resultado de somente um aluno, mas afirmou que os dos demais eram similares). Dormir exige mais do cérebro que assistir aula!

O professor então sugere retirar os alunos de sua zona de conforto: fazê-los durante a aula a resolver exercícios, discutir o erros, debater e chegar a um consenso é uma forma possível de, ainda na sala de aula comum, fazer os alunos pensarem e, com isso, efetivamente aprender. A forma tradicional de ensino é apenas um método de ensiná-los a realizar processos, e não entender conceitos e teorias.

Sobre as demais palestras, eu não diria que foram ruins, só me interessaram menos. Para mim, este blog é mais que escrever para outros ler: é um banco de dados meu que eu uso para consultas futuras, então deixei aqui, de forma resumida, os pontos que mais me interessaram da Oficina.

Aos professores de física: aconselho muito que assistam, pois sempre há temas interessantes e úteis para nosso dia a dia na sala de aula. Sempre sai uma ideia nova, muitas vezes da própria platéia.

Sobre o artigo citado pelo professor Rickson Mesquita, o encontrei neste site http://affect.media.mit.edu/pdfs/10.Poh-etal-TBME-EDA-tests.pdf e tomei a liberdade de reproduzir o gráfico apresentado pelo professor:

Captura de tela de 2015-11-08 20:26:28

O artigo foi publicano no IEEE TRANSACTIONS ON BIOMEDICAL ENGINEERING, VOL. 57, NO. 5, MAY 2010, e os autores são Ming-Zher Poh, Student Member, IEEE, Nicholas C. Swenson, and Rosalind W. Picard, Fellow, IEEE

Parabéns à TODOS os palestrantes! Mesmo me interessando mais pelos dois primeiros temas, a Oficina como um todo foi excelente!


Resolução IME 2016 primeira fase

Observação 1: as respostas estão com a mesma cor de fundo, então para saber a resposta basta selecionar a linha escrito “RESPOSTA”.

Observação 2: eu pretendia montar a resolução da prova apenas de física, mas disponibilizar toda a prova aqui, com o gabarito abaixo da questão. Fiquei doente por uma semana e disponibilizar toda a resolução agora, depois da segunda fase, não faz mais sentido (iria disponibilizar para meus alunos), por essa razão, vou deixar disponível aqui apenas as resoluções que já havia feito e deixarei disponível apenas a prova de física e química digitada no blog.

Observação 3: você pode baixar a PROVA e o GABARITO. A prova da segunda fase você encontra aqui: (Matemática, Física, Química, Português/Inglês) e o gabarito da prova de Português/Ingles.

Observação 4: uma resolução mais completa você encontra em https://imeresolve.wordpress.com/category/vestibular-ime-201516/

QUESTÕES DE 1 A 15

MATEMÁTICA

1$^a$ QUESTÃO

Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

(A) $(G \cup F) – (F – H)$

(B) $(G \cup H) – (H – F)$

(C) $(G \cup (H – F)) \cap \overline H $

(D) $\overline G \cup ( H \cap F)$

(E) $(\overline H \cap G) \cap (G – F )$

RESPOSTA: C

2$^a$ QUESTÃO

O polinômio $x^3+ax^2+bx+c$ tem raízes reais $\alpha$,$-\alpha$ e $\frac 1 \alpha$. Portanto o valor da soma  $b+c^2+ac+\frac b c^2$   é:

(A) −2

(B) −1

(C) 0

(D) 1

(E) 2

RESPOSTA: A

3$^a$ QUESTÃO

Sabendo-se que $m$ e $n$ são inteiros positivos tais que $3^m + 14400 = n^2$, determine o resto da divisão de $m+n$ por 5.

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

RESPOSTA: E

4$^a$ QUESTÃO

O valor do somatório abaixo é: $$\sum_{k=1}^{15} \rm{Img} \left ( cis^{2k-1}\frac {\pi} {36}  \right )$$

(A) $\frac{2+ \sqrt 3}{4 \rm{sen} \frac {\pi}{36}}$

(B) $\frac{2- \sqrt 3}{4 \rm{sen} \frac {\pi}{36}}$

(C) $\frac{1}{4 \rm{sen} \frac {\pi}{36}}$

(D) $ \rm{sen} \frac {\pi}{36}$

(E) $\frac 1 4$

Observação: $\rm{Img}(w)$ é a parte imaginária de $w$.

RESPOSTA: A

5$^a$ QUESTÃO

Seja $P(x) = x^2 + ax + b$. Sabe-se que $P(x)$ e $P(P(P(x)))$ têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor $a$ e $b$

(A) $P(−1)P(1) < 0$

(B) $P(−1)P(1) = 0$

(C) $P(−1) + P(1) = 2$

(D) $P(0)P(1) = 0$

(E) $P(0) + P(1) = 0$

RESPOSTA: D

6$^a$ QUESTÃO

Sabendo-se que os números reais positivos $a$, $b$ e $c$ formam uma progressão geométrica e $\rm{log} \left ( \frac{5c}{a} \right )$, $\rm{log} \left( \frac{3b}{5c} \right )$ e $\rm{log} \left ( \frac{a}{3b} \right )$ formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que $a$, $b$ e $c$

(A) formam os lados de um triângulo obtusângulo.

(B) formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.

(C) formam os lados de um triângulo equilátero.

(D) formam os lados de um triângulo retângulo.

(E) não podem formar os lados de um triângulo.

RESPOSTA: E

7$^a$ QUESTÃO

O valor da soma abaixo é:

$$\binom{2016}{5}+ \binom{2017}{5}+ \binom{2018}{5}+ \binom{2019}{5} + \binom{2020}{5}+ \binom{2016}{5}$$

(A) $\binom{2020}{6}$

(B) $\binom{2020}{7}$

(C) $\binom{2021}{5}$

(D) $\binom{2021}{6}$

(E) $\binom{2022}{5}$

RESPOSTA: D

8$^a$ QUESTÃO

Os inteiros  $n$ e $m$ são sorteados do conjunto $\left \{1,2,3,…,2016 \right \}$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto $ n \times m$ ser múltiplo de 12?

(A) $\frac{5}{12}$

(B) $\frac{5}{18}$

(C) $\frac{5}{24}$

(D) $\frac{5}{36}$

(E) $\frac{5}{144}$

RESPOSTA: B

9$^a$ QUESTÃO

Seja $A=\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$. O maior valor de $a$, com $a \neq 1$, que satisfaz $A^{24}= I$:

(A) $\frac 1 2 $

(B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) $\frac{\sqrt{2}}{4} \left ( \sqrt{3} -1 \right )$

(E) $\frac{\sqrt{2}}{4} \left ( \sqrt 3 + 1 \right )$

Observação: $I$ é a matriz identidade $2 \times 2$.

RESPOSTA: E

10$^a$ QUESTÃO

Quantos inteiros $k$ satisfazem à desigualdade $2\sqrt{\rm{log}_{10}k-1}+10\rm{log}_{10^{-1}} \; k^{1/4}+3>0$?

(A) 10

(B) 89

(C) 90

(D) 99

(E) 100

RESPOSTA: C

11$^a$ QUESTÃO

Seja a equação $\frac{\rm{sen}(2x)}{\rm{tg}x}=\frac 1 2 \ $. As soluções dessa equação para $x \in \left [ -\frac{\pi}{2}, \pi \right ]$,  formam um polígono no círculo trigonométrico de área

(A) $\frac {\sqrt{3}} {2}$

(B) $\sqrt 3$

(C) $\frac{5 \sqrt 3}{8}$

(D) $\frac 1 2$

(E) $1$

RESPOSTA: A

12$^a$ QUESTÃO

O lugar geométrico dos pontos em $\mathbb{R}^2$ equidistantes às retas de equações $$ 4x + 3y – 2 = 0 \; \; \rm{e} \; \;  12x – 16 y + 5 = 0$$

é

(A) $4x + 28 y + 13 = 0$

(B) $8x – 7y – 13 = 0$

(C) $28 x – 4y – 3 = 0$

(D) $56x^2 + 388xy – 184x – 56y^2 – 16y + 19 =0$

(E) $112x^2 + 768xy – 376x – 112y^2 – 32y + 39 =0$

RESPOSTA: E

13$^a$ QUESTÃO

Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. O valor máximo da relação  $ \left ( \frac{a}{b} \right ) ^2 $ é

(A) 2

(B) $ 1+\sqrt3$

(C) $2+\sqrt3$

(D) $1+2 \sqrt2$

(E)$2+2sqrt3$

RESPOSTA: C

14$^a$ QUESTÃO

Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo Â. Sabe-se que

$$ \overline{AC}=\overline{AD}, \; r=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \; \rm{e} \; \rm{que} \; \hat{C}=\alpha $$

Portanto o valor de $\rm{sen}^2\alpha$ é

(A) $\frac{3r-1}{4}$

(B) $\frac{3r-1}{4r}$

(C) $\frac{r+3}{4}$

(D) $\frac{3r+1}{4r}$

(E) $\frac{3r+1}{4}$

RESPOSTA: D

15$^a$ QUESTÃO

Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma distância d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S. Qual a distância entre estes planos distintos em função de a, de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?

(A) $\frac{a}{2}$

(B) $\frac{a\sqrt3}{2}$

(C) $\frac{a\sqrt{10}}{8}$

(D) $\frac{a\sqrt[4]{8}}{2}$

(E) $\frac{a(4-3\sqrt2)}{2}$

RESPOSTA: D

QUESTÕES DE 16 A 30

FÍSICA

16$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-03 17:31:03

Um corpo de carga positiva, inicialmente em repouso sobre uma rampa plana isolante com atrito, está apoiado em uma mola, comprimindo-a. Após ser liberado, o corpo entra em movimento e atravessa uma região do espaço com diferença de potencial V, sendo acelerado. Para que o corpo chegue ao final da rampa com velocidade nula, a distância d indicada na figura é

Dados:

  •  deformação inicial da mola comprimida: x;
  •  massa do corpo: m;
  • carga do corpo: + Q;
  • aceleração da gravidade: g;
  • coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a rampa: $\mu$;
  • ângulo de inclinação da rampa: $\theta$;
  • constante elástica da mola: K.

Considerações:

  • despreze os efeitos de borda;
  • a carga do corpo permanece constante ao longo da trajetória.

(A) $\frac{Kx^2+2QV}{2(1+\mu)mg\rm{sen}\theta}$

(B) $\frac{Kx^2+QV}{2(1+\mu)mg\rm{sen}\theta}$

(C) $\frac{\frac{Kx^2}{2}+QV}{2(1+\mu)mg\rm{cos}\theta}$

(D) $\frac{Kx^2-2QV}{2mg(\rm{sen}\theta +\mu \rm{cos}\theta)}$

(E) $\frac{Kx^2+2QV}{2mg(\rm{sen}\theta +\mu \rm{cos}\theta)}$

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO

16

17$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-03 17:50:45

Uma partícula de massa m e carga + Q encontra-se confinada no plano XY entre duas lâminas infinitas de vidro, movimentando-se sem atrito com vetor velocidade (v,0,0) no instante t = 0, quando um dispositivo externo passa a gerar um campo magnético dependente do tempo, cujo vetor é (f(t),f(t),B), onde B é uma constante. Pode-se afirmar que a força normal exercida sobre as lâminas é nula quando t é

Consideração:

  • desconsidere o efeito gravitacional.

(A) $\left ( \frac{m}{QB} \right ) \frac{\pi}{8}$

(B) $\left ( \frac{m}{QB} \right ) \frac{\pi}{4}$

(C) $\left ( \frac{m}{QB} \right ) \frac{\pi}{2}$

(D) $\left ( \frac{m}{QB} \right )\pi$

(E) $ 2 \left ( \frac{m}{QB} \right ) \pi$

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO

17(1) 17(2)

18$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-03 18:02:42

A figura acima, cujas cotas estão em metros, exibe uma estrutura em equilíbrio formada por três barras rotuladas AB, BC e CD. Nos pontos B e C existem cargas concentradas verticais. A maior força de tração que ocorre em uma barra, em kN, e a altura h, em metros, da estrutura são

Consideração:

  • as barras são rígidas, homogêneas, inextensíveis e de pesos desprezíveis.

(A) 50,0 e 2,50

(B) 31,6 e 1,67

(C) 58,3 e 3,33

(D) 50,0 e 1,67

(E) 58,3 e 2,50

RESPOSTA: C

19$^a$ QUESTÃO

Uma fonte sonora está situada no ponto de coordenadas x = 0 m e y = 0 m e outra no ponto de coordenadas x = 0 m e y = 4 m. As ondas produzidas pelas duas fontes têm a mesma frequência e estão em fase. Um observador situado no ponto de coordenadas x = 3 m e y = 0 m nota que a intensidade do som diminui quando ele se move paralelamente ao eixo y no sentido positivo ou no sentido negativo. Se a velocidade do som no local é 340 m/s, a menor frequência das fontes, em Hz, que pode explicar essa observação é

(A) 85

(B) 170

(C) 340

(D) 680

(E) 1360

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO

19

20$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 12:29:25

Na Figura 1, o corpo A, constituído de gelo, possui massa m e é solto em uma rampa a uma altura h. Enquanto desliza pela rampa, ele derrete e alcança o plano horizontal com metade da energia mecânica e metade da massa iniciais. Após atingir o plano horizontal, o corpo A se choca, no instante 4T, com o corpo B, de massa m, que foi retirado do repouso através da aplicação da força $f(t)$, cujo gráfico é exibido na Figura 2.

Para que os corpos parem no momento do choque, F deve ser dado por

Dado: 

  • aceleração da gravidade: g.

Observações:

  • o choque entre os corpos é perfeitamente inelástico;
  •  o corpo não perde massa ao longo de seu movimento no plano horizontal.

(A) $\frac{m\sqrt{2gh}}{8T}$

(B) $\frac{m\sqrt{2gh}}{6T}$

(C) $\frac{m\sqrt{2gh}}{4T}$

(D) $\frac{m\sqrt{2gh}}{3T}$

(E) $\frac{m\sqrt{2gh}}{2T}$

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO

20

21$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 12:40:45

Considerando o esquema acima, um pesquisador faz três afirmações que se encontram listadas a seguir:

Afirmação I. Se a diferença de pressão entre os dois reservatórios ($P_A – P_B$) for equivalente a 20 mm de coluna de água, a variação de massa específica entre os dois fluidos ($\rho_1 – \rho_2$) é igual a 0,2 kg/L.

Afirmação II. Se o Fluido 1 for água e se a diferença de pressão ($P_A – P_B$) for de 0,3 kPa, a massa específica do Fluido 2 é igual a 0,7 kg/L.

Afirmação III. Caso o Fluido 1 tenha massa específica igual à metade da massa específica da água, o Fluido 3 (que substitui o Fluido 2 da configuração original) deve ser mais denso do que a água para que a diferença de pressão entre os reservatórios seja a mesma da afirmação I.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmação(ões)

Dados:

  • massa específica da água: 1 kg/L;
  • aceleração da gravidade: 10 m/s$^2$ ;
  • Para as afirmações I e II: $L_1 = 0,30$ m e $L_2 = 0,40$ m;
  • Para a afirmação III apenas: $L_1 = 0,60$ m e $L_2 = 0,80$ m.

Consideração:

  • os fluidos são imiscíveis.

(A) I apenas.

(B) II apenas.

(C) III apenas.

(D) I e II apenas.

(E) I, II e III.

RESPOSTA: D

22$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 12:46:42

Um corpo rígido e homogêneo apresenta seção reta com dimensões representadas na figura acima. Considere que uma força horizontal $F$, paralela ao eixo $x$, é aplicada sobre o corpo a uma distância de 1,5 u.c. do solo e que o corpo desliza sem atrito pelo solo plano horizontal. Para que as duas reações do solo sobre a base do corpo sejam iguais, a distância $y$, em u.c., deverá ser

Consideração:

  • u.c. – unidade de comprimento.

(A) $cos(\pi/3)$

(B) $\rm{sen}(\pi/3)$

(C) $2cos(\pi/3)$

(D) $2\rm{sen}(\pi/3)$

(E) $3cos(\pi/3)$

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO

22

23$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 12:52:50

A figura acima apresenta o esquema de ligação de um instrumento usado para medir a potência fornecida a uma carga. Sabe-se que a leitura de potência do instrumento em regime permanente é $P_{instrumento} = C \cdot I_p \cdot I_c$ e que o erro relativo é $\varepsilon =\frac{P_{instrumento} -P_{real}}{P_{real}}$. Diante do exposto, o valor da resistência $R_p$ do instrumento deve ser igual a

Dados:

  • potência medida na resistência $R$ empregando-se o instrumento: $P_{instrumento}$;
  • potência real dissipada na resistência $R$: $P_{real}$;
  • constante do instrumento: $C$;
  • tensão de alimentação do circuito: $V$;
  •  corrente da bobina de potencial ($B_p$): $I_p$;
  •  corrente da bobina de corrente ($B_c$): $I_c$.

Considerações:

  • $R\ll r_p$; e
  • $R \gg R_c$.

(A) $\frac{C}{\varepsilon}$

(B) $\frac{2C}{\varepsilon}$

(C) $\frac{C}{1+\varepsilon}$

(D) $\frac{C}{1-\varepsilon}$

(E) $\frac{C}{2(1+\varepsilon)}$

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO

23(1) 23(2)

24$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 12:53:07

Um circuito é composto por capacitores de mesmo valor $C$ e organizado em três malhas infinitas. A capacitância equivalente vista pelos terminais A e B é

(A) $(3^{1/2}+7)\frac{C}{6}$

(B) $(3^{1/2}+1)\frac{C}{3}$

(C) $(3^{1/2}+1)\frac{C}{6}$

(D) $(3^{1/2}+5)\frac{C}{2}$

(E) $(3^{1/2}+1)\frac{C}{2}$

RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO

24

25$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 12:53:21

Uma corda de comprimento $L$ e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a $\omega$. Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade $v$ do pulso, no referencial da corda, a uma distância $r$ da extremidade fixa é dada por

(A) $\omega \frac{L-r}{\sqrt2}$

(B) $\omega \sqrt{\frac{L(L-r)}{2}}$

(C) $\frac{\omega}{\sqrt2 L}(L^2-r^2)$

(D) $\omega \sqrt{\frac{L^2-r^2}{2}}$

(E) $\frac{\omega L}{\sqrt 2} \sqrt{\frac{L-r}{L+r}}$

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO

25

26$^a$ QUESTÃO

Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações $x_1(t) = 3cos(t)$ e $y_1(t) = 4\rm{sen}(t)$, sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como $x_2(t) = 5cos(t)$ e $y_2(t) = 5\rm{sen}(t)$. O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação:

Observações:

  • os eixos $x_1$ e $x_2$ são paralelos e possuem o mesmo sentido; e
  • os eixos $y_1$ e $y_2$ são paralelos e possuem o mesmo sentido.

(A) $9x^2+16y^2=25$

(B) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=25$

(C) $4x^2+y^2=1$

(D) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(E) $4x^2+y^2=4$

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO

26

27$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 13:38:29

Um circuito é alimentado por uma bateria através de uma chave temporizada ch que após o seu fechamento, abrir-se-á depois de transcorrido um período de tempo igual a $T$. Esse circuito é formado por segmentos de condutores com a mesma seção, mesma resistividade e comprimentos indicados na figura. Também estão inseridos cinco fusíveis $f_1$ a $f_5$, que têm a função de manter a continuidade do fluxo de corrente e de manter os segmentos conectados. Sempre que um dos fusíveis queimar, o segmento imediatamente à esquerda vai girar no sentido horário, fechando o contato, através de um batente, após decorridos $T/4$. Sabe-se que cada fusível necessita de $T/4$ para se romper diante de uma corrente maior ou igual à corrente de ruptura. A partir do fechamento da chave temporizada ch até a sua abertura, a energia consumida pelo circuito é igual a

Dados:

  • correntes de ruptura para cada fusível a partir da direita:
    • o $f_1$: 0,9 $I$;
    • o $f_2$: 1,1 $I$;
    • o $f_3$: 1,5 $I$;
    • o $f_4$: 1,8 $I$; e
    • o $f_5$: 2,1 $I$.
  • resistividade do segmento: $\rho$;
  • seção do fio: $S$;
  • diferença de potencial da bateria: $U$.

Observações:

  • $I$ corresponde a corrente elétrica com todos os fusíveis ligados;
  • desconsidere a resistência dos fusíveis, da chave, dos fios e dos engates que conectam a fonte ao circuito.

(A) $\left ( \frac{1}{24}+\frac{1}{20}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(B) $\left ( \frac{1}{34}+\frac{1}{24}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(C) $\left ( \frac{1}{42}+\frac{1}{34}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(D) $\left ( \frac{1}{62}+\frac{1}{44}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(E) $\left ( \frac{1}{62}+\frac{1}{22}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

RESPOSTA: D

28$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 13:38:59

A figura acima apresenta um desenho esquemático de um projetor de imagens, onde A é um espelho e B e C são lentes. Com relação aos elementos do aparelho e à imagem formada, pode-se afirmar que

(A) o espelho convexo A, colocado atrás da lâmpada, tem por finalidade aumentar a intensidade da luz que incide no objeto (filme).

(B) o filamento da lâmpada deve situar-se no plano focal do espelho A, para que sua imagem real se forme nesse mesmo plano.

(C) a imagem projetada na tela é virtual, invertida e maior.

(D) a lente delgada C é convergente de borda delgada, possuindo índice de refração menor que o meio.

(E) as lentes plano-convexas B poderiam ser substituídas por lentes de Fresnel, menos espessas, mais leves, proporcionando menor perda da energia luminosa.

RESPOSTA: E

29$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 13:39:32

Um raio luminoso atravessa um prisma de vidro de índice de refração n, imerso em água, com índice de refração $n_{água}$. Sabendo que tanto o ângulo $\alpha$ como o ângulo de incidência são pequenos, a razão entre o desvio angular $\Delta$ e o $\alpha$ será

(A) $\frac{n}{n_{água}}-1$

(B) $\frac{n}{n_{água}}+1$

(C) $\frac{n}{n_{água}}-\frac 1 2$

(D) $\frac{n}{n_{água}}+\frac 1 2$

(E) $\frac{n_{água}}{n}-1$

RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO

29

 

30$^a$ QUESTÃO

Captura de tela de 2015-11-08 13:40:33

Um êmbolo está conectado a uma haste, a qual está fixada a uma parede. A haste é aquecida, recebendo uma energia de 400 J. A haste se dilata, movimentando o êmbolo que comprime um gás ideal, confinado no reservatório, representado na figura. O gás é comprimido isotermicamente.

Diante do exposto, o valor da expressão: $\frac{P_f-P_i}{P_f}$ é

Dados:

  • pressão final do gás: $P_f$ ;
  • pressão inicial do gás: $P_i$ ;
  • capacidade térmica da haste: 4 J/K;
  • coeficiente de dilatação térmica linear da haste: 0,000001 K$^{-1}$ .

(A) 0,01

(B) 0,001

(C) 0,0001

(D) 0,00001

(E) 0,000001

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO

30


Oficina de Física “César Lattes”

MENSAGEM RECEBIDA POR E-MAIL E DIVULGADA AQUI
PORTANTO NÃO É DE MINHA AUTORIA

Prezados Senhores,

O ensino da Física no Ensino Médio, e da ciência de forma geral,  é um assunto que merece especial atenção. Por essa razão, a XXXV Oficina de Física “Cesar Lattes” terá como tema “Ensino, aprendizagem e avaliação: perspectivas para o ensino de Física na educação básica e será realizada no dia 07 de Novembro de 2015, no auditório do Instituto de Física “Gleb Wataghin”, IFGW/UNICAMP.
Serão cinco palestras ministradas por professores do IFGW e da Universidade Federal de São Carlos, serão tratadas diversos tópicos relacionados com o ensino da Física. Alguns dos palestrantes são pesquisadores na área da Pedagogia e será uma boa oportunidade para discutir o ensino dessa ciência.
Estão convidados os professores de Ensino Médio da nossa região, alunos de graduação e pós-graduação e público em geral.

Abaixo, o cartaz de apresentação do evento e a programação preliminar.

 

PROGRAMAÇÃO PRELIMINAR

 

8h00 – 8h30

Entrega de Material

8h30 – 8h40

Abertura

8h40 – 9h30

Ensino de Física, Enem e as Escolas: uma parceria possível”

Prof. Maurício Kleinke (IFGW/UNICAMP)

9h30 – 9h45

Perguntas e discussões

9h45 – 10h15

Intervalo / Café

10h15 – 11h05

“A intuição engana: erros comuns e concepções prévias acerca do movimento dos corpos”

Prof. Rickson Mesquita (IFGW/UNICAMP)

11h05 – 11h20

Perguntas e discussões

11h20 – 12h10

A interdisciplinaridade e o ensino de Física”.

Profa. Maria Gebara (UFSCAR)

12h10 – 12h25

Perguntas e discussões

12h25 – 14h00

Intervalo / Almoço

14h00 – 14h50

“O Efeito Fotoelétrico: Um experimento que mudou a história da Física”

Prof. Leandro Tessler (IFGW/UNICAMP)

14h50 – 15h05

Perguntas e discussões

15h05 – 15h30

Intervalo / Café

15h30 – 16h20

“Concepções erradas frequentes em Eletromagnetismo”

Prof. Mário A. Bernal (IFGW/UNICAMP)

16h20 – 16h35

Perguntas e discussões

16h35 – 16h40

Encerramento

Maiores detalhes poderão ser obtidos pelo site: http://portal.ifi.unicamp.br/extoficinas
INSCRIÇÕES
– Alunos de escola/ Universidade pública / particular,  R$\rm{$}$ 35,00
– Professores de escola pública/particular/funcionário públicos, bolsistas de pós-graduação e pós-doutorado, R$\rm{$}$ 40,00
– Profissionais liberais e outros, R$\rm{$}$ 56,00

Nos vemos na Oficina!
Atenciosamente,
-- 
Viviane Therezinha de Faria Fonseca
Coordenadoria de Extensão
IFGW/UNICAMP
Telefone: (19) 3521 5286

Simulado UNESP – FÍSICA

Selecionei alguns exercícios de física, baseado na distribuição de assuntos, para montar este “simulado” UNESP.

O nível das questões estão pouco acima do que espero que se depare no dia da prova e há questões diversas: objetivas, dissertativas e até de julgar os itens.

Faça o “simulado” para testar seu conhecimento.

Dúvidas ou problemas? Poste aqui neste post…

Baixe já, sem enrolação!


Simulado ENEM – FÍSICA

Selecionei alguns exercícios de física, baseado na distribuição de assuntos, para montar este simulado ENEM. O número de questões é semelhando ao número que encontrará no dia da prova.

Teste seus conhecimentos.

Dúvidas ou problemas? Poste aqui neste post… Ao fornecer o e-mail, você não receberá propagandas e nem informações sobre o site..

Baixe já, sem enrolação!


Gráfico de incidência por disciplina na Unesp (2012 à 2015)

Confira abaixo a incidência de assuntos por disciplinas na Unesp nos últimos cinco anos (de 2012 à 2015).

Confira todas as estatísticas de vestibulares anteriores clicando aqui!

UNESP 2012 - 2015 - GEOGRAFIA

UNESP 2012 – 2015 – GEOGRAFIA

UNESP 2012 - 2015 - GEOGRAFIA - GERAL

UNESP 2012 – 2015 – GEOGRAFIA – GERAL

UNESP 2012 - 2015 - GEOGRAFIA - BRASIL

UNESP 2012 – 2015 – GEOGRAFIA – BRASIL

UNESP 2012 - 2015 - HISTORIA

UNESP 2012 – 2015 – HISTORIA

UNESP 2012 - 2015 - HISTORIA - GERAL

UNESP 2012 – 2015 – HISTORIA – GERAL

UNESP 2012 - 2015 - HISTORIA - BRASIL

UNESP 2012 – 2015 – HISTORIA – BRASIL

UNESP 2012 - 2015 - HISTORIA - AMERICA

UNESP 2012 – 2015 – HISTORIA – AMERICA

UNESP 2012 - 2015 - BIOLOGIA

UNESP 2012 – 2015 – BIOLOGIA

UNESP 2012 - 2015 - SOCIOLOGIA

UNESP 2012 – 2015 – SOCIOLOGIA

UNESP 2012 - 2015 - FILOSOFIA

UNESP 2012 – 2015 – FILOSOFIA

UNESP 2012 - 2015 - FISICA

UNESP 2012 – 2015 – FISICA

UNESP 2012 - 2015 - QUIMICA

UNESP 2012 – 2015 – QUIMICA

UNESP 2012 - 2015 - PORTUGUES

UNESP 2012 – 2015 – PORTUGUES

UNESP 2012 - 2015 - MATEMATICA

UNESP 2012 – 2015 – MATEMATICA

UNESP 2012 - 2015 - INGLES

UNESP 2012 – 2015 – INGLES


Calendário Cósmico

Calendário Cóscmico

O calendário cósmico é uma representação gráfica e resumida do que teria ocorrido no universo desde o Big Bang até os dias atuais. A idade do universo é comprimida em um ano de forma que o Big Bang tenha ocorrido no primeiro segundo do início desse calendário e os dias atuais corresponderia aos instantes finais .

A figura acima representa esta ideia. Carl Sagan, cientista norte americano, foi também um grande escritor e em seu livro “Dragões do Edem” popularizou esta ideia.

Aproveitando para falar deste escritor: ele é autor de diversos livros de divulgação científica que considero muito bons, de agradável leitura, grande confiabilidade das informações além de ser cativante, pois em seus textos ele deixa transparecer sua paixão pelo conhecimento científico.

Alguns de seus textos já foram usados em provas de vestibulares. O mais recente que vi foi em uma prova da Unesp 2014 Português intitulado “Não existem perguntas imbecis” (do livro “O mundo assombrado por demônios”). Ele também escreveu o livro “Contato” que gerou o filme de mesmo nome, livro este de ficção científica, porém de “pé no chão” pois trata de assuntos palpáveis (recomendo a leitura do livro, pois há muito mais conteúdo científico e “viagens” possíveis).

Também foi autor da Série Cosmos, que recomendo fortemente (não só para vestibulandos). Esta série foi regravada e seu ex aluno Neil Degrasse Tyson é agora o seu narrador.

Recomendo a leitura de qualquer livro de Sagan, mas alguns dos que li e gostei foram:

  • Dragões do Edem
  • Assisti ambas as séries Cosmos
  • Contato (livro e filme)
  • O Mundo Assombrado por Demônios

“Regra do Tombo”

Se quiser um resumo, vá para o final do post. Além disso, estou assumindo algum conhecimento de física e matemática, mas não de cálculo (ensino superior). Tentei dar explicações simples de conceitos mais elaborados, entretanto alguns passos achei difíceis de explicar, portanto certamente teremos alguma perda de rigor.

Você já deve ter ouvido falar dessa tal de regra do tombo, certo? Se não, vou apresentá-la, sem entrar em detalhes. Ela será útil para lembrar de algumas fórmulas sem lançar mão daquelas “frases” tão usadas.

Primeiro, a “regra do tombo” exige que você tenha algum conhecimento prévio do assunto no qual você irá aplicá-la. Por exemplo, digamos que você sabe de antemão algumas fórmulas (sempre na forma de razão). Por exemplo, sabemos que $$v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$$ $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$ $$F=\frac{\tau}{\Delta S}$$ Sendo $$v$$ a velocidade, $$S$$ o deslocamento, $$t$$ o tempo, $$a$$ a aceleração, $$\tau$$ o trabalho, $$F$$ a força e $$\Delta$$ representa a variação de uma grandeza (isto é, a grandeza final menos a inicial).

Estes são apenas alguns exemplos, mas poderíamos usar muitos outros. Vamos então começar a falar o que é essa “regra”.

A grandeza do numerador (parte de cima da fração) deve depender da grandeza do denominador (parte de baixo da fração) e quem irá sofrer o tombo é a grandeza no denominador. Por exemplo, para achar a velocidade, temos de antemão que a posição deve depender do tempo e quem sofre o tombo é o tempo, pois este estaria no denominador. Vamos à um exemplo: sabemos que $$v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$$  para o caso em que a velocidade é constante, então comecemos com a equação da posição. Digamos que um corpo percorre uma trajetória retilínea tal que a equação horária é dada pela seguinte equação: $$s(t)=3t^2$$ A “regra do tombo” diz para “derrubar” o expoente 2 do tempo (note que o tempo é quem está no denominador da equação que temos inicialmente). Esse expoente vai passar multiplicando o número 3, depois subtraímos um do expoente. Assim temos: $$v=\rm{TOMBO}s_{em \; t} =2\cdot 3 t^{2-1}=6t$$

E esta é a equação da velocidade. Vamos para mais um exemplo?

Observe que a fração inicial, no caso anterior $$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$ , só serve para sabermos a função (numerador, parte de cima da fração) que vamos tombar e o denominador (o que está em baixo da fração) nos diz quem vai sofrer o tombo (lembre-se de que esta equação é válida somente no movimento uniforme, mas ela nos auxilia a determinar qual função e qual variável irá “tombar”). Assim, mais um exemplo para a velocidade.

Seja dada a equação da posição $$s(t)=3t+2t^2$$ Aplicando o tombo, temos: $$v=\rm{TOMBO}s_{em \; t} =1\cdot 3 t^{1-1}+2\cdot 2t^{2-1}=3t^0+4t=3+4t$$

Como todo número elevado à zero é 1, então dizemos que $$t^0=1$$ (na verdade isso é um pouco impreciso, pois $$0^0$$ é uma indeterminação, assim por hora tomaremos $$t^0=1$$ para todo o caso porque simplifica a nossa vida).

Ta muito fácil, não está? Vamos complicar um pouco… Seja a equação horária $$s(t)=3t^{\frac{4}{3}}+2\sqrt{t}$$. Determine a equação da velocidade e da aceleração do móvel que obedece esta equação.

Vamos aplicar o tombo: $$v=\rm{TOMBO}s_{em \; t} =\frac{4}{3} \cdot 3 t^{\frac{4}{3}-1}+\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}-1}$$ Observe que substituímos $$\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$$ e aplicamos a “regra” normalmente. Continuando: $$v=3t^{\frac{4}{3}-\frac{3}{3}}+t^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}=4t^{\frac{1}{3}}+t^{\frac{-1}{2}} \Rightarrow $$

$$v=3\sqrt[3]{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$$

Ufa! Acabou…

Entendeu? Este processo é geral, ou seja, é aplicado para qualquer função $$f(x)$$ desde que saibamos o que é a razão $$\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$$. Quando constante, esta razão terá um significado, assim quando variável obtemos este significado pela regra do tombo. Abaixo vou dar mais alguns exemplos. Mas vamos para exemplos não numéricos, isto é, vamos usar algumas fórmulas conhecidas para chegar em outras.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Vamos começar com a equação do “sorvetão”: $$s(t)=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$. Como já vimos, “tombamos” $$t$$ para acharmos $$v$$. Primeiro, vamos reescrever $$s(t)$$ de maneira mais conveniente:  $$s(t)=s_0\cdot t^0+v_0 \cdot t^1+\frac{1}{2}a\cdot t^2$$

Aplicando o tombo: $$v=0+v_0\cdot 1+2\cdot \frac{1}{2} a \cdot t^{2-1} \Rightarrow $$ $$v(t)=v_0+at$$

Sabemos que $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$ quando a aceleração é constante, então aplicando o tombo na equação acima obtemos a aceleração. Verifique você mesmo que obterá $$a=a$$ como tinha que ser… :)

FORÇA ELÁSTICA

Temos que começar com alguma fração conhecida. No caso, sabemos que $$F=\frac{\tau}{\Delta s}$$. Quando comprimimos uma mola de uma distância $$\Delta s=x$$, realizamos um trabalho $$\tau = -\Delta E_{potencial}$$, isto é, “damos” energia potencial para a mola. Assim, podemos escrever que: $$F_{elástica}=-\frac{\Delta E_{potencial}}{\Delta s}$$ Observe que esta equação seria válida somente para força constante, como a força peso, por exemplo, mas não para a mola que tem uma força variável. Se a força fosse constante a encontraríamos pela razão obtida, mas como não é temos que usar a regra do tombo. Assim, se soubermos a energia potencial de uma mola conseguimos descobrir a força.

Com isso, sabendo que $$E_{potencial}=\frac{kx^2}{2}$$ aplicamos o tombo em $$x$$: $$F_{elástica}=-2\cdot \frac{k\cdot x^{2-1} }{2} \Rightarrow $$ $$F_{elástica}=-kx$$

FORÇA GRAVITACIONAL

Para finalizar, lembremos da fórmula da energia potencial gravitacional: $$E_{pot}=-\frac{GMm}{d}=-GMmd^{-1}$$ Por uma discussão análoga à anterior, aplicando o “tombo” em $$d$$ obtemos a força gravitacional: $$F_{grav}=-\left [-(-1)GMmd^{-1-1}\right ]\Rightarrow $$ $$F_{grav}=-\frac{GMm}{d^2}$$

Os sinais aqui confundem um pouco, mas o que importa é que chegamos na forma da força gravitacional. O sinal de menos é interpretado da seguinte forma: a força gravitacional é oposta ao vetor posição.

forc_grav

A sugestão que deixo é que não se preocupe com o sinal, pois a explicação mais detalhada do sinal vem de um assunto que é abordado no ensino superior chamado de gradiente.

Você pode fazer isso para a energia potencial gravitacional próxima à superfície da Terra: $$E_{pot}=mgh\Rightarrow F_{grav}=-mg$$

O sinal de menos surge porque a força é para baixo, sendo a altura medida de baixo para cima.

FORÇA ELÉTRICA

Esta fica como exercício…

Sabendo a energia:

$$E_{pot}=K\frac{Q\cdot q}{d}$$

Você obterá

 

$$F=K\frac{Q\cdot q}{d^2}$$

MHS

Acredito que este seja o ponto mais útil da “regra do tombo”, pois demonstrar todas as equações do mhs sem usar esta ferramenta é mais trabalhoso.

Primeiro temos que aprender como aplicar a regra do tombo para funções trigonométricas, pois a equação do mhs é $$x(t)=Acos(\omega t +\phi _0)$$. Abaixo, temos a esquerda uma função trigonométrica e à direita a mesma função “tombada”:

$$\rm{sen} x \Rightarrow \rm{cos} x$$

$$\rm{cos} x \Rightarrow -\rm{sen} x$$

Usaremos isso logo abaixo. Mas antes temos que entender a regra do tombo para funções compostas (ou regra da cadeia).

Seja uma função composta $$f(g(x))$$. Para aplicar a regra do tombo, nós consideramos que $$g(x)=y$$, sendo $$y$$ outra variável, “tombamos” $$f(y)$$ em relação à $$y$$ e multiplicamos o resultado por $$g(x)$$ “tombada”.

Vamos à um exemplo.

Seja $$f(x)=5 \cdot \rm{sen}(2x^3+8)$$. Para tombar $$f(x)$$ temos que perceber que esta é uma função composta em que $$f(x)=f(g(x))$$ e $$g(x)=2x^3+8$$. Pelo procedimento descrito acima, escrevemos $$g(x)=y$$ e tombamos $$f(y)$$ em relação à $$y$$: $$f(y)=5\rm{sen}y \Rightarrow 5\rm{cos}y$$ Depois tombamos $$g(x)=y$$ e multiplicamos pelo resultado anterior: $$g(x)=2x^3+8 \Rightarrow 6x^2$$ Multiplicando os dois temos: $$5\cdot \rm{cos}(2x^3+8)\cdot 6x^2=30x^2\cdot\rm{cos}(2x^3+8)$$

Agora vamos tentar com a equação do mhs. Temos primeiro a equação da posição:$$x(t)=Acos(\omega t +\phi _0)$$ Lembrando que tombar $$x$$ em relação ao tempo encontramos a velocidade, então: $$v(t) = A\cdot -sen(\omega t +\phi _0) \cdot(\omega) \Rightarrow $$ $$v(t)=-A \omega \rm{sen}(\omega t + \phi _0)$$ O termo que coloquei entre parêntesis na frente da primeira igualdade é o “tombo” aplicado no termo de dentro da função trigonométrica.

Se aplicarmos a regra novamente encontramos a aceleração: $$a(t)=-A\omega ^2 \rm{cos}(\omega t + \phi _0)$$ Observe que $$a = -\omega ^2 x$$ e esta é uma equação extremamente importante no mhs.

RESUMÃO

Regra do tombo para polinômios:

$$x^n \overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} n\cdot x^{n-1}$$

Regra do tombo para funções trigonométricas:

$$\rm{sen} x \overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} \rm{cos} x$$

$$\rm{cos} x \overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} -\rm{sen} x$$

Funções compostas:

$$f(g(x))=f(y)\overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} (\rm{tomba} \; f(y))\cdot (\rm{tomba}\; g(x))$$


Saiba o que caiu no Enem 2014 – Estatística por assunto

Abaixo gráficos em pizza de incidência por assunto para cada disciplina. Os gráficos em barra surgem quando o gráfico em pizza é muito genérico.

Espero que estes dados te ajude!

ENEM HISTÓRIA 2014

ENEM HISTÓRIA 2014

ENEM HISTÓRIA BRASIL 2014

ENEM HISTÓRIA BRASIL 2014

ENEM HISTÓRIA GERAL 2014

ENEM HISTÓRIA GERAL 2014

ENEM HISTÓRIA TEMÁTICA 2014

ENEM HISTÓRIA TEMÁTICA 2014

ENEM GEOGRAFIA 2014

ENEM GEOGRAFIA 2014

ENEM GEOGRAFIA BRASIL 2014

ENEM GEOGRAFIA BRASIL 2014

ENEM GEOGRAFIA GERAL 2014

ENEM GEOGRAFIA GERAL 2014

ENEM SOCIOLOGIA 2014

ENEM SOCIOLOGIA 2014

ENEM QUÍMICA 2014

ENEM QUÍMICA 2014

ENEM PORTUGUÊS 2014

ENEM PORTUGUÊS 2014

ENEM MATEMÁTICA 2014

ENEM MATEMÁTICA 2014

ENEM FÍSICA 2014

ENEM FÍSICA 2014

ENEM FILOSOFIA 2014

ENEM FILOSOFIA 2014

ENEM BIOLOGIA 2014

ENEM BIOLOGIA 2014


Questões Enem 2002 à 2014

Preparado para o Enem 2015?

Aqui vai uma coletânea de exercícios de física de anos anteriores do Enem. São num total de 99 questões…

Baixe já as questões clicando AQUI!

Apresento aqui a distribuição dos assuntos nas questões do Enem de 2011 à 2014.

Incidência por assuntos de física


Campo gravitacional no interior da Terra

Se você fizer um túnel retilíneo na Terra, ligando o Brasil ao Japão, como a gravidade irá variar conforme adentra este túnel?

Júlio Verne, que escreveu o livro “Viajem ao Centro da Terra”, descreveu a gravidade aumentando conforme de descia para o centro e ao chegar o centro ela subtamente desaparecia. Esta é uma visão equivocada e o que faremos aqui, embora aproximado, será mais próximo da realidade do que a descrição de Júlio Verne.

Primeiro, seja R o raio da Terra e r a distância do ponto de estudo neste túnel até o centro da Terra.

Gravidade Centro da Terra

Sabe-se que o campo gravitacional no ponto de interesse depende apenas na massa interna à esfera de raio r.

Se assumirmos que a Terra possui uma densidade $$\rho$$ contante, massa M, a constante gravitacional for G, podemos calcular o campo gravitacional em função da posição r: $$g_{int}=\frac{G \cdot M_{int}}{r^2}=\frac{G}{r^2} \cdot \rho \cdot V_{int}=\frac{G \cdot \rho}{d^2} \frac{4}{3} \pi d^3 \Rightarrow$$ $$g_{int}=\frac{4G \pi r}{3} \cdot \rho =\frac{4G \pi r}{3} \cdot \frac{M}{\frac{4}{3} \cdot \pi R^3} \Rightarrow$$ $$g_{int}=\frac{GM}{R^3}\cdot r$$

Ou seja, o campo gravitacional diminui conforme aproximamos do centro da Terra.

Agora, imagine que resolvemos usar esse túnel para irmos do Brasil ao Japão. Se fosse possível eliminar completamente o atrito com o ar e com as superfícies, qual seria o tempo $$\Delta t$$ de ida do Brasil ao Japão? Repare que não haveria nenhum custo energético.

Para responder esta pergunta devemos comparar a equação da força elástica com a da força gravitacional. Repare que a força elástica é $$F_{el}=k\cdot x$$ enquanto que a força gravitacional será: $$F_{grav}=mg=\frac{GMm}{R^3}\cdot r$$ Em ambas as equações temos uma conatante multiplicando uma variável espacial, então podemos supor que a velocidade angular de ambos os casos obedecem à mesma equação: $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ Se compararmos as duas equações da força (elástica com gravitacional) encontramos que matematicamente $$k=\frac{GMm}{R^3}$$, assim para o corpo caindo no túnel: $$\omega = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2 \cdot \Delta t }$$ Potanto: $$ \Delta t = \pi \sqrt{ \frac{R^3}{GM} } $$

Substituindo $$R = 6.400 \rm{km} $$, $$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\rm{N}\cdot\rm{m}^2}{\rm{kg}^2},$$ $$\pi=3,14$$ e $$M=6,0\cdot10^{24}\rm{kg}$$, temos: $$\Delta t = 42 \rm{min}22\rm{s}$$

Poderíamos continuar com esta discussão e nos questionar se o tempo de viagem seria menor se fizéssemos um outro túnel paralelo ao primeiro mas que agora não passe pelo centro da terra conforme o esquema abaixo:

Túnel não passando pelo centro da Terra

Surpreendentemente o período será o mesmo!

Seja $$\theta$$ o ângulo entre o vetor posição r e o eixo y, então a abscissa x será $$r sin\theta$$ e a força ao longo do eixo x será $$F_{grav} sin\theta$$. Substituindo isso na equação da força gravitacional: $$F_x=F_{grav} sin\theta=\frac{GMm}{R^3}\cdot r sin\theta = \frac{GMm}{R^3}\cdot x$$ ou seja $$k=\frac{GMm}{R^3}$$ portanto o período será igual: $$T=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$


Plano Inclinado de Galileu – Enem 2014

Galileu Galilei foi um filósofo natural que acreditava que para entender o mundo à sua volta ele deveria confrontar suas teorias com a experimentação. As ideias de sua época seguiam um caminho diferente: acreditavam que todo o conhecimento era algo interno do ser humano e bastava pensar de maneira lógica e profunda que seríamos capazes de compreendermos o universo.

A primeira lei de Newton, a lei da Inércia, foi formulada antes dele, por Galileu.

A experiencia de Galileu consiste no que se aborda na questão abaixo do Enem:

(ENEM 2014) Para entender os movimentos dos corpos, Galileu discutiu o movimento de uma esfera de metal em dois planos inclinados sem atritos e com a possibilidade de se alterarem os ângulos de inclinação, conforme mostra a figura. Na descrição do experimento, quando a esfera de metal é abandonada para descer um plano inclinado de um determinado nível, ela sempre atinge, no plano ascendente, no máximo, um nível igual àquele em que foi abandonada.

Plano Inclinado de Galileu

Se o ângulo de inclinação do plano de subida for reduzido a zero, a esfera

a) manterá sua velocidade constante, pois o impulso resultante sobre ela será nulo.

b) manterá sua velocidade constante, pois o impulso da descida continuará a empurrá-la.

c) diminuirá gradativamente a sua velocidade, pois não haverá mais impulso para empurrá-la.

d) diminuirá gradativamente a sua velocidade, pois o impulso resultante será contrário ao seu movimento.

e) aumentará gradativamente a sua velocidade, pois não haverá nenhum impulso contrário ao seu movimento.

 

Resolução:

Se a esfera sempre atinge a mesma altura quando solta de um lado da rampa, então não há forças dissipativas, como força de Atrito. Com isso, podemos dizer que nenhuma força de atrito atua na esfera e, portanto, quando o ângulo do plano de subida for zero, ela se moverá indefinidamente com velocidade constante.

Como dito acima do enunciado, a lei da inércia de Galileu difere da lei da Inércia de Newton, mas em que ponto? Na lei da Inércia de Newton, um corpo na ausência de forças dissipativas, deve manter um movimento retilíneo com velocidade constante. Galileu entretanto pensava que o movimento deve ser curvilíneo, mantendo-se sempre uma mesma distância do centro da Terra (haja visto que Galileu sabia que a Terra era redonda e em sua época ele não conseguiu imaginar um local onde não existice a força da gravidade, ou seja, Galileu não conseguiu imaginar um corpo movendo-se livre de quaisquer força, inclusive a gravidade).

 

 


Teorema de Pascal – Prensa Hidráulica – questão Enem 2013

O princípio de Pascal diz que a se produzirmos uma variação da pressão de um fluido em uma região qualquer do fluido, esta variação de pressão é integralmente transferida para todo o fluído, inclusive para toda a parede que contém o fluido.

Como principal aplicação direta deste princípio temos as prensas hidráulicas.

Observe a figura abaixo (extraída de https://pt.wikipedia.org/wiki/Prensa_hidr%C3%A1ulica)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Hydraulic_Force%2C_language_neutral.png

A pressão produzida pela força $F_1$ do lado esquerdo deve ser igual à do lado direito $F_2$ para que o sistema permaneça em equilíbrio estático. Assim, a pressão do lado esquerdo será $$p_1 = \frac{F_1}{A_1}$$ Enquanto que a pressão do lado direito será: $$p_2 = \frac{F_2}{A_2}$$ Como estas pressões são iguais, temos: $$p_1 = p_2 \Rightarrow  \frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}$$

EXEMPLO:

(ENEM 2013) Para oferecer acessibilidade aos portadores de dificuldades de locomoção, é utilizado, em ônibus e automóveis, o elevador hidráulico. Nesse dispositivo é usada uma bomba elétrica, para forçar um fluido a passar de uma tubulação estreita para outra mais larga, e dessa forma acionar um pistão que movimenta a plataforma. Considere um elevador hidráulico cuja área da cabeça do pistão seja cinco vezes maior do que a área da tubulação que sai da bomba. Desprezando o atrito e considerando uma aceleração gravitacional de 10 m/s2, deseja-se elevar uma pessoa de 65 kg em uma cadeira de rodas de 15 kg sobre a plataforma de 20 kg. 

Qual deve ser a força exercida pelo motor da bomba sobre o fluido, para que o cadeirante seja elevado com velocidade constante?

a) 20 N

  1. b) 100 N
  2. c) 200 N
  3. d) 1000 N 
  4. e) 5000 N

Usando o princípio de pascal:  $$ \frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2} \Rightarrow \frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}$$ Como a força aplicada em um dos lados do elevador é o peso da plataforma, mais o peso da cadeira de rodas e mais o peso da pessoa, temos: $$\frac{(20+15+65)\cdot g}{5 \cdot A_2}=\frac{F_{motor}}{A_2}$$ Lembrando que peso $P = m \cdot g $ e portanto $$ F_{motor}=\frac{100 \cdot 10}{5} =200 \rm{N}$$


Exercícios de Física

Encontrei um site de uma empresa que oferece aulas particulares em Higienópolis e no site deles, disponibilizam exercícios de física, matemática e química bem como alguns simulados.

Vale a pena conferir.

 

Link direto para os exercícios de física:

http://nsaulasparticulares.com.br/apostilas/exercicios-de-fisica/


Forças de Inércia e de Coriolis

No ensino médio pouco se fala de forças de inércia.

Quando ensinamos sobre as leis de Newton, sempre falamos que quando um veículo faz uma curva a força que atua em todos os corpos, seja no motorista ou nos passageiros, é para o centro da curva. É muito comum um ou mais aluno questionar que de dentro do carro o que se sente é uma força para fora e muitas vezes costuma-se dar pouca importância para esse fato "corrigindo" os sentidos dos alunos e dizendo que a única força que existe é para o centro.

Na realidade, as leis de Newton só funciona em referenciais inerciais (ou aproximadamente inerciais), assim o aluno dentro do carro está em um referencial no qual as leis de Newton, tal como são normalmente formuladas, não funcionam! Ela deve ser adaptada/modificada incluíndo o que chamamos de forças de inércias ou fictícias.

Portanto, força centrífuga pode sim surgir em um referencial não inercial. Além da força centrífuga, temos as chamadas forças de Coriolis. As forças de coriolis contribuem para a formação de tornados e elas são as responsáveis por fazer um tornado girar no sentido horário quando ocorre no sul e no anti-horário no norte; estas mesmas forças inerciais (forças de Coriolis) provocam uma força lateral nos aviões fazendo-os se desviar para o leste quando partindo do equador e indo rumo norte (ou para oeste quando indo na direção norte sul ao norte do equador; ou o oposto no hemisfério sul: desvia-se para leste ao ir de norte para o sul e para o oeste quando do sul para o norte); as forças de Coriolis fazem com que rios causem maiores erosões em uma margem que outra; etc.

Recomendo procurarem na internet textos sobre as forças de Coriolis…

Abaixo, dois vídeos que achei bem legais sobre o assunto.

O primeiro vídeo é mais discontraído, e mostra pessoas jogando uma bola em um gira gira.

 O segundo é mais longo e mais detalhista mostrando o ponto de vista de dois observadores: um inercial e o outro não inercial.

 


Energia cinética dissipada em uma colisão

OBSERVAÇÃO: neste post não vou me ater aos detalhes do problema fazendo desenhos e representações, uma vez que meu objetivo é documentar uma demonstração de um problema que julgo difícil se feito por meios convencionais (teria que se resolver um sistema grande).

Aqui vou falar de forma geral sobre problemas que perguntam qual a energia dissipada em uma colisão entre dois corpos, que são bastante comuns. Demonstrar a equação abaixo usando sistemas é muito trabalhoso, assim vou apresentar uma alternativa para prová-la com muito menos trabalho.

Energia dissipara na colisão entre dois corpos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2}(v_2-v_1)^2(1-e^2)$$ sendo $$\mu$$ a massa reduzida do sistema constituído de duas massas $$m_1$$ e $$m_2$$ (massa dos corpos que sofrem colisão), $$v_1$$ e $$v_2$$ as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, antes da colisão e e o coeficiente de restituição elástica.

Usamos a massa reduzida do sistema para obter uma equação mais simples, mas a massa reduzida é dada por: $$\mu = \frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2}$$ e caso não se lembre (ou não saiba) o coeficiente de restituição elástica e é dado por: $$e=\frac{v_1′-v_2′}{v_2-v_1}$$ Aqui $$v_1’$$ e $$v_2’$$ são as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, após a colisão. Vale destacar aqui que não estamos trabalhando com os módulos das velocidades, mas sim com os valores escalares destas e estamos considerando uma colisão unidimensional.

Vou considerar dois problemas distintos:

  1. dois corpos com velocidades iniciais $$v_1$$ e $$v_2$$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $$v_3$$;
  2. dois corpos com velocidades iniciais $$v_1’$$ e $$v_2’$$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $$v_3’$$.

Isso mesmo, a segunda situação remete aos caso de uma colisão na qual dois corpos de massas $$m_1$$ e $$m_2$$, respectivamente, com velocidades  $$v_1’$$ e $$v_2’$$, iguais às velocidades finais do problema que queremos realmente resolver. Vamos lá:

PRIMEIRO CASO

A quantidade de movimento do sistema deve se conservar, então, na forma escalar (isto é, considerando que as velocidades podem ser poditivas ou negativas), temos a quantidade de movimento do sistema dada pot: $$Q_0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2$$ Agora, como a colisão é inelástica, a velocidade dos dois corpos serão iguais à $$v_3$$ e a quantidade de movimento final será $$Q_f=(m_1+m_2) \cdot v_3$$

Como a quantidade de movimento se conserva, $$Q_0=Q_f$$, ou seja:

$$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2=Q_f$$

Isolando $$v_3$$:

$$v_3=\frac{m_1\cdot v_1+m_2 \cdot v_2}{m_1+m_2}$$

Como a colisão é perfeitamente inelástica, vamos calcular a energia dissipada neste sistema. Temos que fazer um tantinho bom de cálculo, então vou pular algumas etapas, mas sugiro que as faça em um papel. Temos então que a energia dissipada $$E_{dissipada}’$$ é: $$E_{dissipada}’=E_{cin_{inicial}}-E_{cin_{final}}$$ Substituíndo os dados temos: $$ E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}$$

Substituindo $$v_3$$ encontrado anteriormente: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{m_1 + m_2}{2} \left ( \frac{m_1\cdot v_1^2+m_2 \cdot v_2^2}{m_1+m_2} \right )^2 $$

Fazendo a expansão chegaremos à: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1^2-2v_1v_2+v_2^2)=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1-v_2)^2$$

Substituindo pela massa reduzida $$\mu$$ descrita acima, obtemos: $$E_{dissipada}’=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1-v_2)^2$$

SEGUNDO CASO

Como todos os procedimentos são análogos ao anterior, o resultado do segundo caso será semelhante:$$E_{dissipada}”=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1′-v_2′)^2$$

CASO EM ESTUDO

Nosso caso de interesse não é nenhum dos dois, porém podemos entender o caso de uma colisão qualquer como sendo os dois anteriores, porém o últimos visto em ordem reversa. Tentarei explicar isso melhor.

Durante a colisão, vai haver um momento em que ambos os corpos atingem velocidades iguais, e neste caso temos que ambos se movem com velocidade $$v_3$$ (observe que estamos discutindo o que ocorre durante a colisão, mas que normalmente apenas nos interessamos no que ocorre antes ou depois). Nesse instante a energia cinética se reduziu de $$E_{dissipada}’$$ conforme o primeiro caso acima, porém ela não necessariamente foi dissipada em calor: um parte fica na forma de potencial elástica devido à deformação dos materiais envolvidos. Se a colisão é perfeitamente inelástica, esta é a energia dissipada; se a colisão é perfeitamente elástica, toda esta energia se transforma em energia potencial elástica que voltará a se transformar em energia cinética.

Após a colisão, a energia disponível é $$E_{dissipada}’$$, porém a parte que se transforma em energia cinética é a $$E_{dissipada}”$$ discutida no segundo caso, pois esta é a máxima energia cinética que o sistema do caso dois teria para perder (aqui é o potno chave e se não entendeu, releia o texto ou tente imaginar o que ocorre).

Assim, a energia realmente dissipada será: $$E_{dissipada}=E_{dissipada}’-E_{dissipada}”\Rightarrow E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left ( (v_1-v_2)^2-(v_1′-v_2′)^2\right ) $$

Usando o coeficiente de restituição elástica e para fazer a substituição $$v_1′-v_2’=e(v_1-v_2)$$, obtemos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left (  (v_1-v_2)^2-(e(v_1-v_2) \right ) ^2\Rightarrow $$ $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} (v_1-v_2)^2(1-e^2)$$

Isto era exatamente o que queríamos obter.


Questões do Vestibular do Mackenzie (Matemática) de 2004 até 2015

Baixe aqui a lista com 89 exercícios de matemática.

Muitas questões com resolução.

Bons estudos à todos!

 


Apresentação Espelhos Esféricos

Olá alunos do CEC – Poliedro Itatiba – está aqui, como prometido, a apresentação que usei com os slides das aulas.

Pelo que percebi, algumas animações funcionaram bem em sala, mas como não usei o PowerPoint para criá-lo, acho que pode ter alguma diferença, mas no todo vale a pena para estudarem/relembrarem.

 

Farei também uma lista complementar de óptica para vocês, e como disse, este é o ano internacional da luz, assim acho bem provável que caia algo de óptica nos vestibulares.

Lembrando também que em abril, o telescópio espacial fez 25 aninhos…

 

Está aqui o link para vocês:

professordanilo.com\teoria\Material_Complementar\ESPELHOS_ESFERICOS_2015.ppt


Lista de Termologia e Termodinâmica

Como a lista anterior, de oscilações, era pequena (apenas dois exercícios) aproveito para deixar uma uma:

Baixe aqui!!!

 

 

Particularmente, montei uma listinha de escalas termométricas. Você pode baixá-la aqui!

Este é um assunto que consegui montar um material legalzim! Assim, se quiser um conteúdo teórico, pode ver este que fiz:

Veja conteúdo online aqui!!!

 

Se gostarem do conteúdo, ou achar algum erro, podem comunicar aqui. Incentivos me motivarão a criar outros materiais.


Interpretação estatística na mecânica quântica

Um texto que considero muito bom e bem didático sobre a interpretação estatística da função de onda na mecânica quântica ($\Psi (\vec{x},t)$) pode ser encontrado no livro de David J. Griffiths, agora em versão traduzida para o português, com título Mecânica Quântica.

Tomei a liberdade de copiar três páginas sobre o assunto e postei como figura abaixo.

O que julgo mais interessante é a discussão sobre as interpretações, que está na segunda página. Se você acha que entendeu física quântica, talvez se surpreenda com a interpretação estatística, que é a mais usual hoje em dia.

interpretacao1 interpretacao2 interpretacao3


Questão UFC – Gabarito incorreto na net

A questão a seguir tem aparecido na internet com o gabarito errado. Minha intensão é resolver, detalhadamente, e apresentar onde possivelmente está o erro de outros gabaritos. Deixo como exercício para que alguém tente resolvê-la. Em breve a resolverei…

A figura a seguir mostra frentes de onda sucessivas emitidas por uma fonte puntiforme em movimento, com velocidade vf para a direita. Cada frente de onda numerada foi emitida quando a fonte estava na posição identificada pelo mesmo número. A distância percorrida em 0,9 segundos, pela fonte, medida a partir da posição indicada pelo número 1 até a posição indicada pelo número 8, é de 9,0 m, e a velocidade da onda é de 20,0 m/s

UFC

Determine:

a) a velocidade vf da fonte.

b) o comprimento de onda medido pelo observador A.

c) a frequência medida pelo observador B.

d) a frequência da fonte.

 a) vf = 10,0 m/s;  b) 1,285 m;  c) 140/9 Hz;  d) 70/9 Hz


Resolução Simulado Unesp – Poliedro Itatiba

Analise o gráfico a seguir, que representa uma transformação cíclica ABCDA de  1 mol de gás ideal monoatômico.

DIAGRAMA

O trabalho realizado pelo gás durante o ciclo ABCDA é:

a) 40 J

b) 20 J

c) 60 J

d) 30 J

e) 50 J

RESOLUÇÃO

O trabalho de um ciclo é dado pela área interna da figura do diagrama p vs V, sendo positivo se o ciclo ocorrer no sentido horário e negativo se ocorrer no sentido anti-horário.

O trabalho do ciclo é:
$$ \tau_{ciclo}=60-20=40 J $$

Positivo pois o processo ocorre no sentido anti-horário no diagrama p vs V.

 

 

Um dos métodos de obtenção de sal consiste em armazenar água do mar em grandes tanques abertos, de modo que a exposição ao sol promova a evaporação da água e o resíduo restante contendo sal possa ser, finalmente, processado. A respeito do processo de evaporação da água, analise as afirmações a seguir.

I. A água do tanque evapora porque sua temperatura alcança 100ºC. 

II. Ao absorver radiação solar, a energia cinética de algumas moléculas de água aumenta, e parte delas escapa para a atmosfera.

III. Durante o processo, linhas de convecção se formam no tanque (água), garantindo a continuidade do processo até que toda a água seja evaporada.

 

Está(ão) correta(s)

a) apenas I.  

b) apenas II.  

c) apenas III.  

d) apenas I e II.  

e) I, II e III.  

 

RESOLUÇÃO

Justificando as incorretas:

[I] INCORRETA. A evaporação é um processo de vaporização que ocorre abaixo da temperatura de ebulição.

[II] CORRETA.

[III] INCORRETA. Não ocorre convecção porque a água quente, menos densa, está na superfície, não realizando movimento descendente.  


Rubem Alves: Há escolas que são gaiolas e há escolas que são asas

Citação

Escolas que são gaiolas existem para que os pássaros desaprendam a arte do vôo. Pássaros engaiolados são pássaros sob controle. Engaiolados, o seu dono pode levá-los para onde quiser. Pássaros engaiolados sempre têm um dono. Deixaram de ser pássaros. Porque a essência dos pássaros é o vôo.

Escolas que são asas não amam pássaros engaiolados. O que elas amam são pássaros em vôo. Existem para dar aos pássaros coragem para voar. Ensinar o vôo, isso elas não podem fazer, porque o vôo já nasce dentro dos pássaros. O vôo não pode ser ensinado. Só pode ser encorajado.


NOTAS DE AULA – ÓPTICA-0.1 – Material Itatiba

Estou disponibilizando aos alunos de Itatiba as minhas notas de aula em formato adequado à aparelhos portáteis como tablets de smartphones. Irei fazer postagens com atualizações semanais e/ou mensais, assim os arquivos aqui serão atualizados. A acada versão nova criada, modificarei o nome do arquivo. Por exemplo, para as notas de óptica, o arquivo chamará óptica-0.x.pdf (exemplos:  óptica-0.1.pdf,  óptica-0.2.pdf,  óptica-0.3.pdf, etc) e quando chegar na versão com nome  óptica-1.0.pdf é que conclui todo o material de ótica.

Sugiro que clique NOTAS DE AULAS na categoria abaixo do post para ver todas as postagens de notas de aula e adquirir a mais nova. Quando ouver problemas, erros e outras discussões à respeito do conteúdo, pode-se fazer comentário na própria postagem que farei a correção e/ou darei uma resposta o mais breve possível.

BAIXE AQUI A APOSTILA: ÓPTICA-0.1


Lista de Física Moderna e Ondulatória

Lista com alguns exercícios de ondulatória  e poucos de física moderna.

Poucos vestibulares cobram estes dois assuntos e a lista a seguir apresenta um pequeno conjunto dos exercícios que caíram em alguns vestibulares no ano passado (para egresso em  2015).

Vale a pena conferir!

Vale conferir aqui. Clique já.


Dúvida de Marco Costa em 19 de maio de 2015 às 19:04

Um chuveiro elétrico de potência 4,2.10³ W é usado para aquecer 100 g de água por segundo, em regime permanente. O calor específico da água é c = 4,2 J/(g°C). Despreze possível perda de calor para o ambiente. Se a temperatura de entrada da água no chuveiro é de 23 °C, sua temperatura de saída é de:

 

a) 28 °C

b) 33 °C

c) 38 °C

d) 41 °C

e) 45 °C

 

Resposta:

Lembrando que potência é a quantidade de energia que fornecida a algum sistema por unidade de tempo e que 1 W = 1 J/s, temos que o chuveiro fornece 4,2.103 J a cada segundo para a água (no caso 100 g) a cada segundo.

Assim, bastaria fazermos que:

Qchuveiro = Qágua

Porém devemos tomar o cuidade de trabalhar sempre no mesmo sistema de unidades! Neste exercício está tudo ok (energias tudo em joule, massa em gramas e temperatura em ºC), assim é só proceguir: $$4,2 \cdot 10^3 = m \cdot c \cdot \Delta T= 100 \cdot 4,2 \cdot (T_{saida}-28)\Rightarrow $$ $$10= T_{saida}-28 \Rightarrow $$ $$ T_{saida} = 38ºC $$

 Resposta: C

 


Máquina térmica com rendimento maior que o ciclo de Carnot

Às vezes é difícil de entender alguns conceitos, seja em física ou qualquer outra área. Especificamente sobre máquinas térmicas, é comum ficar aquela dúvida: será que realmente o ciclo de Carnot é o ciclo com maior eficiência possível?

A segunda lei da Termodinâmica afirma que é impossível transferir calor de um corpo frio para um corpo quente sem gasto energético. O texto abaixo foi retirado do livro de física "Fundamentos de Física", Halliday e Resnick.

Nele há uma ótima explicação que nos ajuda a entender que se houver uma máquina térmica com rendimento maior que o do ciclo de Carnot, então a segunda lei da termodinâmica é violada.

Vale conferir:

hallyday-maquina-termica-1

hallyday-maquina-termica-2 


Resolução Questões Termo do Simulado CEC (Poliedro Itatiba)

Um termômetro digital, localizado em uma praça da Inglaterra, marca a temperatura de 10,4 ºF (lembre-se de que 100 ºC corresponde à 212 ºF e 0 ºC à 32 ºF). Essa temperatura, na escala Celsius, corresponde a

a) –5 °C   

b) –10 °C   

c) –12 °C   

d) –27 °C   

 

RESOLUÇÃO

Usando a equação de conversão entre as escalas Celsius e Fahrenheit:

$$\frac{T_C}{5}=\frac{T_F – 32}{9} \Rightarrow T_C = 5 \cdot \frac{T_F – 32}{9} = 5 \cdot \frac{10,4 – 32}{9}\Rightarrow $$ $$T_C = -12 ^oC$$

 

Um recipiente cilíndrico, de vidro, de 500 mL está completamente cheio de mercúrio, a temperatura de 22 ºC. Esse conjunto foi colocado em um freezer a – 18 ºC e, após atingir o equilíbrio térmico, verificou-se um

 

a) transbordamento de 3,4 mL de mercúrio.   

b) transbordamento de 3,8 mL de mercúrio.   

c) espaço vazio de 3,4 mL no recipiente.   

d) espaço vazio de 3,8 mL no recipiente.   

Dados – Constantes físicas:

Coeficiente de dilatação linear do vidro: $$\gamma _V = 1,0 \cdot {{10^{-5}} ^{o} C}^{-1} $$ .

Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio: $$\gamma _{Hg} = 0,20 \cdot {{10^{-3}} ^{o} C}^{-1} $$ .

RESOLUÇÃO

Usando a equação da variação do volume aparente:

$$ \Delta V_{ap} = \Delta V_{Hg} – \Delta V_{vidro} \Rightarrow$$ $$ \Delta V_{ap} = V_o \cdot \gamma _{Hg} \cdot \Delta \theta – V_o \cdot \gamma _{vidro} \cdot \Delta \theta \Rightarrow$$ $$ \Delta V_{ap} = V_o \cdot ( \gamma _{Hg} – \gamma _{vidro} ) \cdot \Delta \theta \Rightarrow$$ $$ \Delta V_{ap} = 500 \cdot (0,2 \cdot 10^{-3} – 3 \cdot 10^{-5}) \cdot (-18-22) \Rightarrow$$ $$ \Delta V_{ap} = 3,4mL$$

 

Um líquido é aquecido através de uma fonte térmica que provê 50,0 cal por minuto. Observa-se que 200 g deste líquido se aquecem de 20,0 °C em 20,0 min.

Qual é o calor específico do líquido, medido em cal/(g °C)?

a) 0,0125   

b) 0,25   

c) 5,0   

d) 2,5   

 

Lembrando que potência é a razão entre energia pelo tempo e que a energia flui na forma de calor, temos:

$$ P=\frac{Q}{\Delta t} = \frac{m \cdot c \cdot \Delta \theta}{\Delta t} \Rightarrow $$ $$c=\frac{P \cdot \Delta t}{m \cdot \Delta \theta} = \frac{50 \cdot 20}{200 \cdot 20} \Rightarrow $$ $$c=0,25cal/(g \cdot ^oC)$$


Aulas Particulares? – 2018/1

 

Aulas particulares a distância e presencial.

Atuo na região de Caconde e Poços de Caldas.

Meu CV pode ser visto aqui: http://professordanilo.com/DaniloLima_Curriculum.pdf

Aulas particulares via skype, youtube ou pela sala do portal profes. Veja meu perfil em https://profes.com.br/Professor_Danilo

Aulas presenciais podem ser agendadas via whatsapp (19 98203 3353) ou e-mail (danilo@professordanilo.com).

 


Resolução das duas primeira questões de Física da AFA 2014

Devido à pedido feito pelo meu canal no youtube, estou montando, à passos de formiga mas com vontade, resoluções das questões da prova de física da AFA de 2014.

Questões resolvidas: 49 e 50 da prova Versão A

Segue o vídeo com resolução. Aceito comentário. Faça sua pergunta que tentarei respondê-la o mais rápido possível.

 

Confira o vídeo:

 


Material de Estudo Gratuito

Você pode acessar meu site: http://professordanilo.com/teoria/FISICA.html

Lá existem materiais didáticos, ainda em desenvolvimento, para você que quer estudar, ou precisa estudar, só. Alguns conteúdos, quando finalizados, haverá material extra com exercício para download.

Em meu canal você encontra videos com resoluções de questões de física:

youtube.com/c/professordanilo


História da construção de termômetros

Quer saber mais sobre a história da construção  de termômetros? Aqui há um artigo um pouco antigo, mas bem legal:

http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/vol13a10.pdf

Você também pode se interessar pela evolução do conhecimento relacionado ao calor:

http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/vol14a06.pdf


UNESP – IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Um bloco de madeira de massa M pode deslizar livremente e sem atrito dentro de um tubo cilíndrico. Uma bala de massa m, movimentando-se com velocidade v0 ao longo do eixo horizontal do cilindro, como mostra a figura a seguir, perde 36% de sua energia cinética ao atravessar o bloco.

 projetil_antes_do_bloco
Após ter sido atravessado pela bala, o bloco, que estava inicialmente em repouso, passa a movimentar com velocidade V. Mostre que $V=\frac{mv_0}{5M}$.

(Despreze efeitos da força da gravidade sobre a trajetória da bala).

RESOLUÇÃO

Antes da colisão, a quantidade de movimento do sistema era de $mv_0$ da esquerda para a direita. Esta quantidade deve se conservar após a colisão. Assim:

$$mv_0=MV+mv$$

Em que V é a velocidade do bloco após o impacto e v a velocidade da bala após atravessar o bloco, conforme a figura a seguir.

projetil_depois-do-bloco

Segundo o enunciado, a bala perde 36% de sua energia cinética, assim, sendo $E_0$  a energia cinética da bala antes de atravessar o bloco e $E_f$ a energia cinética após atravessá-lo, temos:

$$E_f=0,64E_0$$

Substituindo os dados (literais), encontramos:

$$\frac{mv_0^2}{2}=0,64\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v=0,8v_0$$

Substituindo este dado na equação da conservação de quantidade de movimento (nossa primeira equação), encontramos:

$$mv_0=MV+mv\Rightarrow$$

$$mv_0=MV+m\cdot 0,8 \cdot v_0 \Rightarrow$$

$$V=\frac{mv_0}{5M}$$


Problema do looping não completo passando pelo centro

Qual é o valor da altura h, em função do raio da circunferência (loop), para que um corpo abandonado neste ponto inicie o loop e caia passando pelo centro deste mesmo loop? Despreze os atritos.

loopingcentro

Resolução:

Observe a figura abaixo. Nela acrescentamos uma nova variável $\theta$.

looping

Com isso, pela conservação da energia, obtemos a relação à seguir:

$$mgh=mgr(1+\rm{sen}\theta)+\frac{mv^2}{2}\Rightarrow $$
$$\rm{v}^2=2g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]\:\rm{eq.}01$$

Fazendo um diagrama de forças para o corpo no ponto onde ele perde o contato com o looping, isto é, quando a normal sobre o corpo é zero, teremos que $P_y$ é a resultante centrípeta:

$$P_y=P \rm{cos} \alpha$$

Sendo $\alpha= 90^o – \theta$ o ângulo em relação à horizontal da reta tangente (medido no sentido anti-horário), assim $\rm{sen}\theta=\rm{cos}\theta$ eportanto $P_y=P \rm{sen} \theta$. Portanto:
$$P\rm{sen}\theta=\frac{mv^2}{R}$$

Substituindo a equação obtida anteriormente para a velocidade, temos:
$$mg\rm{sen}\theta=\frac{m}{R} 2g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]$$

Dividindo a equação inteira por $mg$, multiplicando por $R$ e desenvolvendo a distributiva:
$$R\rm{sen}\theta=2h-2R-2R\rm{sen}\theta\Rightarrow$$
$$\rm{sen}\theta=\frac{2}{3}\cdot\frac{h-R}{R}$$

Com isso podemos obter co-seno de $\theta$:

$$\rm{cos}^2\theta=\sqrt{1-\rm{sen}^2\theta}$$

Desenvolvendo, obtemos:

$$\rm{cos}\theta=\frac{\sqrt{5R^2-4h^2+8hR}}{3R}$$

Agora vem uma sacada (foi uma sugestão de um aluno, o Rafael, da turma Ita, 2014), que achei muito boa. Vou resolver assim, e se alguém quiser tentar de outro jeito, fique a vontade.

Observe a figura abaixo. Se no ponto em que o corpo perde o contato com o looping ele “magicamente” não sofresse influência da gravidade e atravessasse o looping em linha reta, ele atingiria um alvo fictício no ponto onde está indicado o ângulo $\theta$ que chamaremos de objeto $O$. Agora, em uma situação análoga, voltando instante em que o corpo perde contato com o looping, com influência da gravidade, imagine que o ponto $O$ inicie uma queda livre. É uma consequência, que não abordarei em detalhes aqui mas que vale a pena perguntar o seu professor se não entender, o fato de que o objeto atingirá o alvo $O$ no centro da circunferência!

Com isso, a partir da figura abaixo, temos um novo triângulo retângulo em que o cateto oposto ao $\theta$ é $R$, a hipotenusa será $\frac{gt^2}{2}$ e o cateto adjacente será $vt$.

loopingCom isso, podemos escrever:

 

$$ \left\{\begin{matrix}
\rm{sen}\theta =\frac{2R}{gt^2}\\
\rm{cos}\theta= \frac{2v}{gt}
\end{matrix}\right.$$

Dividindo $\rm{sen}\theta$ por $\rm{cos}^2\theta$, obtemos:

$$\frac{\rm{sen}\theta}{\rm{cos}^2\theta}=\frac{2R}{gt^2}\cdot \frac{g^2t^2}{4v^2}=\frac{Rg}{2v^2}$$

Substituindo a equação 01 ($\rm{v}^2=2g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]$) e seno e co-seno de $\theta$ encontrado acima, obtemos:

$$\frac{\rm{sen}\theta}{\rm{cos}^2\theta}=\frac{Rg}{4g[h-R(1+\rm{sen}\theta)]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{3R}\cdot\frac{9R^2}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{R}{4[h-R(1+\rm{sen}\theta)]}\Rightarrow\\
2(h-R)\cdot\frac{3}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[h-R(1+\rm{sen}\theta)]}$$

Substituindo sen$\theta$:

$$2(h-R)\cdot\frac{3}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[h-R(1+\frac{2(h-R)}{3R})]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[3h-3R-2(h-R)]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[3h-3R-2h+2R)]}\Rightarrow\\
\frac{2(h-R)}{5R^2-4h^2+8hR}=\frac{1}{4[h-R]}\Rightarrow\\
\frac{8(h-R)^2}{5R^2-4h^2+8hR}=1\Rightarrow\\
8(h-R)^2=5R^2-4h^2+8hR\Rightarrow\\
8(h^2-2hR+R^2)=5R^2-4h^2+8hR\Rightarrow\\
8h^2-16hR+8R^2=5R^2-4h^2+8hR\Rightarrow\\
12\cdot h^2-24R\cdot h+3R^2=0$$

Resolvendo por Bhaskara:

$$\Delta=b^2-4ac\Rightarrow\\
\Delta=(24R)^2-4\cdot 12\cdot 3R^2\Rightarrow\\
\Delta=576\cdot R^2-144R^2\Rightarrow\\
\Delta=432R^2\Rightarrow\\
\Delta=3(12R)^2$$

Assim:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt\Delta}{2a}\Rightarrow\\
x=\frac{24R\pm 12R\sqrt3}{24}\Rightarrow\\
x=\frac{2R\pm R\sqrt3}{2}\Rightarrow\\
x=\frac{R}{2}\cdot \left ( 2\pm \sqrt{3} \right )$$

Isso nos da duas raízes. Uma porém é inválida. Resta saber qual e porque.

Temos que considerar a maior raiz, pois $x>R$ (veja que o lançamento só é possível se a altura do ponto em que o corpo perde contato for acima do ponto no centro do looping). Logo, como $x=\frac{R}{2}\cdot \left ( 2 – \sqrt{3} \right ) < R$, esta raiz não satisfaz nossas condições.

Assim a resposta será:

$$x=\frac{R}{2}\cdot \left ( 2 + \sqrt{3} \right )$$


Dúvida de função modular

Respondendo à seguinte questão de função modular:

Estou aprendendo módulo na disciplina de matemática no Cotuca e não consigo resolver essa questão: $$|x^2 -5x +5|<1$$
Obrigada!

Resposta:

Temos uma inequação modular que pode ser dividida em duas inequações modulares:

$$|x^2 -5x +5|<1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix}
x^2 -5x +5 <1 &\rm{ineq}(01)\\
x^2 -5x +5 >-1&\rm{ineq}(02)
\end{matrix}\right.$$

Resolvendo a primeira inequação:

$$x^2 -5x +5 <1 \Rightarrow x^2 -5x +4 <0$$

Neste caso temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: $x^2 -5x +4 =0$. Resolvendo:

$$\Delta=b^2-4ac\\
\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4\\
\Delta=25-16\\
\Delta=9$$

Com isso encontramos as raízes:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2\cdot1}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_1=\frac{5 + 3}{2}=4\\
x_2=\frac{5 – 3}{2}=1
\end{matrix}\right.
$$

Agora fazemos a análise das soluções, conforme representado abaixo:

solucao 1Assinalamos a região negativa, pois queremos a solução para $x^2 -5x +4 <0$.

Agora faremos o mesmo para a outra inequação:

$$x^2 -5x +5 >-1 \Rightarrow x^2 -5x + 6 >0$$

Neste caso temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: $x^2 -5x + 6 =0$. Resolvendo:

$$\Delta=b^2-4ac\\
\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6\\
\Delta=25-24\\
\Delta=1$$

Com isso encontramos as raízes:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2\cdot1}\Rightarrow$$
$$x=\frac{5\pm 1}{2}\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_1=\frac{5 + 1}{2}=3\\
x_2=\frac{5 – 1}{2}=2
\end{matrix}\right.
$$

Agora fazemos a análise das soluções, conforme representado abaixo:

solucao

Assinalamos a região positiva pois queremos a região para $x^2 -5x + 6 >0$.

Por fim temos que encontrar a solução que satisfaça às duas condições acima, assim podemos esquematizar as soluções em três retas reais, sendo as duas primeiras a solução das duas inequações e a última a solução (intersecção) da inequação modular.

solucao FINAL

Com isso temos que a solução está para $x$ entre 1 e 2 ou entre 3 e 4, pois nestas circunstâncias tanto a inequação (01) como a inequação (02) são satisfeitas.

Ou seja:

$$S=\{x\: \epsilon \: \mathbb{R} \: |\:  1<x<2\: \cup  \: 3<x<4\}$$

Para verificar a solução acima, veja abaixo o gráfico da função $y=|x^2 -5x +5|$. Note que para satisfazer $y<1$, $x$ deve estar entre 1 e 2 ou entre 3 e 4, como encontrado acima.

solucao FINALEspero ter ajudado.

 

 

 

 

 


Usando equações no blog

Se você quiser utilizar equações neste blog, você deve inserir as equações em código $$\LaTeX$$ entre dois cifrão.
Por exemplo, se você quiser inserir uma equação como $\vec{F}=m \cdot \vec{a}$, você deve escrever entre cifrãos o código ”   \vec{F}=m \cdot \vec{a}\   “.

Se quiser que esta equação fique centralizada, deve colocar dois cifrão, como o exemplo a seguir:

Para uma equação centralizada: $$\vec{F}=m \cdot \vec{a}$$

Você também pode utilizar o link abaixo para abrir uma pop up e escrever sua equação em e postar aqui. Mas não se esqueça de colocar o cifrão no início e no fim da equação.

Da um pouquinho de trabalho, mas o resultado final pode valer a pena.

Carregar CodeCogs Equation Editor