Efeito Doppler – demonstração – onda mecânica

Apresentarei aqui uma forma alternativa de se demonstrar a fórmula do efeito Doppler para ondas sonoras. Como pré-requisito, você deverá saber calcular a velocidade relativa a um corpo em sua forma vetorial (se tiver dúvidas sobre isso consulte aqui).  Vou direto à demonstração e recomendo que já tenha uma noção do que é efeito Doppler. Vamos começar:

Seja uma onda qualquer produzida por uma fonte emissora E e um observador O, com velocidades, respectivamente, iguais à $\vec{v}_E$ e $\vec{v}_O$. Sabemos que a equação fundamental da ondulatória é:

$$v=\lambda \cdot f$$

Perguntinha: o que é $v$? Velocidade, certo? Mas de que e em relação à que ou à quem? A resposta é que $v$ é a velocidade da onda no referencial de quem mede a frequência $f$, ou seja, para o observador O, a velocidade da onda $v=v_O$ é a velocidade da onda sonora medida em relação à O que mede uma frequência $f_O$, assim como para a fonte, $v=v_E$ é a velocidade da onda sonora medida no referencia de E que percebe uma frequência $f_E$. Resumindo, para a fonte e para o observador, temos a equação fundamental da ondulatória:

$$\left\{\begin{matrix}
v_{SomE}=\lambda_E \cdot f_E\\
v_{SomO}=\lambda_O \cdot f_O
\end{matrix}\right.$$

Na forma vetorial, a velocidade do $\vec{v}_S$ é medida em relação ao ar. A velocidade do som em relação ao emissor é $\vec{v}_{SomE}$ é:

$$\vec{v}_{SomE}=\vec{v}_S-\vec{v}_E$$

A velocidade do som em relação ao observador é $\vec{v}_{SomO}$ é:

$$\vec{v}_{SomO}=\vec{v}_S-\vec{v}_O$$

O comprimento da onda é, por exemplo, a distância entre duas cristas da onda, e pode ser definido como a distância entre dois pontos fixos em duas cristas consecutivas. Como distância entre dois pontos não depende do referencial, temos que $\lambda_E=\lambda_O$, ou seja:

$$\frac{|\vec{v}_{SomE}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_{SomO}|}{f_O}$$

O módulo surge porque estamos comparando dois números positivos (escalares): os comprimentos de onda medidos em referenciais diferentes.

Assim:

$$\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{E}|}{f_E}=\frac{|\vec{v}_S-\vec{v}_{O}|}{f_O}$$

Esta já é a equação do efeito Doppler e a demonstração está terminada! Entretanto, esta fórmula pode ser muito útil ou mesmo inútil para você dependendo do seu grau de entendimento sobre a forma vetorial de cálculo de velocidade relativa, por isso recomento que leia o conteúdo do link abaixo:

http://www.professordanilo.com/teoria/aula104_MOVIMENTO_UNIFORME.html#relativa

Sugiro que leia do item “VELOCIDADE RELATIVA” para baixo.

EXEMPLOS CLÁSSICOS:

Considerando que você tenha lido o material acima, podemos então escrever a equação do efeito Doppler da seguinte forma:

$$\frac{f_O}{v_{SomO}}=\frac{f_E}{v_{SomE}}$$

Sendo que $v_{SomO}$ e $v_{SomE}$ são as velocidades do som (que vai do emissor para o observador) em relação ao observador e emissor, respectivamente.

Por exemplo, se o observador está indo na direção do emissor, então a velocidade do som e do observador estão em sentidos opostos, logo $v_{SomO}=v_S+v_E$ (soma-se os módulos das velocidades). Se o observador se afasta, subtrai-se os módulos das velocidades, pois a velocidade do som em relação ao ar está na mesma direção que a velocidade do observador.

A ideia se repete para o emissor: indo na direção do observador subtraem-se as velocidades e na direção oposta ao observador somam-se as velocidades.

 

Qualquer dúvida, postem aí.


2 ideias sobre “Efeito Doppler – demonstração – onda mecânica

  1. Verena

    Olá professor! Como resolvo essa questão?
    Todos os métodos de diagnose médica que usam ondas ultrassônicas se baseiam na reflexão do ultrassom nas interfaces (superfícies de separação entre dois meios) ou no efeito Doppler produzido pelos movimentos dentro do corpo. A informação diagnóstica sobre a profundidade das estruturas no corpo pode ser obtida enviando um pulso de ultrassom através do corpo e medindo-se o intervalo de tempo entre o instante de emissão do pulso e o de recepção do eco. Uma das aplicações do efeito Doppler é examinar o movimento das paredes do coração, principalmente dos fetos. Para isso, ondas ultrassônicas de comprimentos de onda de 0,3 mm são emitidas na direção do movimento da parede cardíaca. Como boa aproximação, a velocidade do ultrassom no corpo humano vale 1500 m/s. Se em um exame Doppler a velocidade de movimento de uma parede cardíaca for de 7,5 cm/s, qual será a variação da frequência observada devido ao efeito Doppler?
    a) 30 MHz
    b) 40 MHz
    c) 50 MHz
    d) 60 MHz

    Aguardo resposta. Abraço

    Responder
    1. Professor Danilo Autor do post

      Primeiramente, vejamos a pergunta:

      … qual será a variação da frequência observada devido ao efeito Doppler?

      ou seja, o que se pede é a diferença entre as frequências máxima e mínima devido ao movimento de aproximação e mínima devido ao movimento de afastamento da parede do coração. Vamos ao cálculo da frequência da onda do ultra som:
      $$v=\lambda f\Rightarrow\lambda f= \frac{v}{\lambda}=\frac{1500}{0,3\cdot 10^{-3}}\Rightarrow f= 5\cdot 10^6 Hz$$

      Note que a frequência é de 5 MHz e o efeito Doppler produz variações de frequências pequenas (comparada com a frequência da fonte; note também que a velocidade do coração é muito menor que a velocidade do som), assim seja lá qual for a resposta, deve ser menor que 5 MHz, e não temos nenhuma alternativa que satisfaz esta condição, portanto não há alternativa correta.

      Como o comprimento de onda é constante para qualquer referencial (conforme discutido acima), temos que, quando a fonte está se afastando, a velocidade do som em relação ao coração é a diferença entre a velocidade do som e a do coração, ou seja:
      $$\lambda_{emissor}=\lambda_{coracao}\Rightarrow \lambda_{emissor}=\frac{v_{som}-v_{coracao}}{f_{coracao}}$$
      Note que como a fonte não se move, a velocidade do som em relação à ela é a própria velocidade do som em relação ao tecido ($v_{som}$) e $f_{coracao}$ é a frequência da onda sonora (ultra-som) no referencial da parede do coração. Substituindo os dados:
      $$0,3\cdot10^{-3}=\frac{1500-7,5\cdot10^{-2}}{f_{coracao}}\Rightarrow \boxed{f_{coracao}=\frac{1500-0,075}{3\cdot10^{-4}}}$$

      Como a parede do coração reflete esta onda como se fosse um espelho, a onda refletida tem esta mesma frequência, assim $f_{coracao}$ é a frequência mínima detectada pelo detector.
      No lugar de fazer esta conta, vamos calcular a frequência da onda no referencial do coração quando a parede do coração se aproxima do emissor ($f’_{coracao}$). Usando o mesmo método, temos:

      $$\lambda_{emissor}=\lambda_{coracao}\Rightarrow \lambda_{emissor} =\frac{v_{som}+v_{coracao}}{f’_{coracao}}\Rightarrow$$

      $$0,3\cdot10^{-3}=\frac{1500+7,5\cdot10^{-2}}{f’_{coracao}}\Rightarrow \boxed{f’_{coracao}=\frac{1500+0,075}{3\cdot10^{-4}}}$$

      Esta é a frequência máxima ouvida. Assim, a diferença entre máxima e mínima será:

      $$f’_{coracao}-f_{coracao}=\frac{1500+0,075}{3\cdot10^{-4}}-\frac{1500-0,075}{3\cdot10^{-4}} \Rightarrow$$

      $$f’_{coracao}-f_{coracao}=500 Hz$$

      Responder

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