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Energia cinética dissipada em uma colisão

OBSERVAÇÃO: neste post não vou me ater aos detalhes do problema fazendo desenhos e representações, uma vez que meu objetivo é documentar uma demonstração de um problema que julgo difícil se feito por meios convencionais (teria que se resolver um sistema grande).

Aqui vou falar de forma geral sobre problemas que perguntam qual a energia dissipada em uma colisão entre dois corpos, que são bastante comuns. Demonstrar a equação abaixo usando sistemas é muito trabalhoso, assim vou apresentar uma alternativa para prová-la com muito menos trabalho.

Energia dissipara na colisão entre dois corpos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2}(v_2-v_1)^2(1-e^2)$$ sendo $$\mu$$ a massa reduzida do sistema constituído de duas massas $$m_1$$ e $$m_2$$ (massa dos corpos que sofrem colisão), $$v_1$$ e $$v_2$$ as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, antes da colisão e e o coeficiente de restituição elástica.

Usamos a massa reduzida do sistema para obter uma equação mais simples, mas a massa reduzida é dada por: $$\mu = \frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2}$$ e caso não se lembre (ou não saiba) o coeficiente de restituição elástica e é dado por: $$e=\frac{v_1′-v_2′}{v_2-v_1}$$ Aqui $$v_1’$$ e $$v_2’$$ são as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, após a colisão. Vale destacar aqui que não estamos trabalhando com os módulos das velocidades, mas sim com os valores escalares destas e estamos considerando uma colisão unidimensional.

Vou considerar dois problemas distintos:

  1. dois corpos com velocidades iniciais $$v_1$$ e $$v_2$$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $$v_3$$;
  2. dois corpos com velocidades iniciais $$v_1’$$ e $$v_2’$$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $$v_3’$$.

Isso mesmo, a segunda situação remete aos caso de uma colisão na qual dois corpos de massas $$m_1$$ e $$m_2$$, respectivamente, com velocidades  $$v_1’$$ e $$v_2’$$, iguais às velocidades finais do problema que queremos realmente resolver. Vamos lá:

PRIMEIRO CASO

A quantidade de movimento do sistema deve se conservar, então, na forma escalar (isto é, considerando que as velocidades podem ser poditivas ou negativas), temos a quantidade de movimento do sistema dada pot: $$Q_0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2$$ Agora, como a colisão é inelástica, a velocidade dos dois corpos serão iguais à $$v_3$$ e a quantidade de movimento final será $$Q_f=(m_1+m_2) \cdot v_3$$

Como a quantidade de movimento se conserva, $$Q_0=Q_f$$, ou seja:

$$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2=Q_f$$

Isolando $$v_3$$:

$$v_3=\frac{m_1\cdot v_1+m_2 \cdot v_2}{m_1+m_2}$$

Como a colisão é perfeitamente inelástica, vamos calcular a energia dissipada neste sistema. Temos que fazer um tantinho bom de cálculo, então vou pular algumas etapas, mas sugiro que as faça em um papel. Temos então que a energia dissipada $$E_{dissipada}’$$ é: $$E_{dissipada}’=E_{cin_{inicial}}-E_{cin_{final}}$$ Substituíndo os dados temos: $$ E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}$$

Substituindo $$v_3$$ encontrado anteriormente: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{m_1 + m_2}{2} \left ( \frac{m_1\cdot v_1^2+m_2 \cdot v_2^2}{m_1+m_2} \right )^2 $$

Fazendo a expansão chegaremos à: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1^2-2v_1v_2+v_2^2)=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1-v_2)^2$$

Substituindo pela massa reduzida $$\mu$$ descrita acima, obtemos: $$E_{dissipada}’=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1-v_2)^2$$

SEGUNDO CASO

Como todos os procedimentos são análogos ao anterior, o resultado do segundo caso será semelhante:$$E_{dissipada}”=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1′-v_2′)^2$$

CASO EM ESTUDO

Nosso caso de interesse não é nenhum dos dois, porém podemos entender o caso de uma colisão qualquer como sendo os dois anteriores, porém o últimos visto em ordem reversa. Tentarei explicar isso melhor.

Durante a colisão, vai haver um momento em que ambos os corpos atingem velocidades iguais, e neste caso temos que ambos se movem com velocidade $$v_3$$ (observe que estamos discutindo o que ocorre durante a colisão, mas que normalmente apenas nos interessamos no que ocorre antes ou depois). Nesse instante a energia cinética se reduziu de $$E_{dissipada}’$$ conforme o primeiro caso acima, porém ela não necessariamente foi dissipada em calor: um parte fica na forma de potencial elástica devido à deformação dos materiais envolvidos. Se a colisão é perfeitamente inelástica, esta é a energia dissipada; se a colisão é perfeitamente elástica, toda esta energia se transforma em energia potencial elástica que voltará a se transformar em energia cinética.

Após a colisão, a energia disponível é $$E_{dissipada}’$$, porém a parte que se transforma em energia cinética é a $$E_{dissipada}”$$ discutida no segundo caso, pois esta é a máxima energia cinética que o sistema do caso dois teria para perder (aqui é o potno chave e se não entendeu, releia o texto ou tente imaginar o que ocorre).

Assim, a energia realmente dissipada será: $$E_{dissipada}=E_{dissipada}’-E_{dissipada}”\Rightarrow E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left ( (v_1-v_2)^2-(v_1′-v_2′)^2\right ) $$

Usando o coeficiente de restituição elástica e para fazer a substituição $$v_1′-v_2’=e(v_1-v_2)$$, obtemos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left (  (v_1-v_2)^2-(e(v_1-v_2) \right ) ^2\Rightarrow $$ $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} (v_1-v_2)^2(1-e^2)$$

Isto era exatamente o que queríamos obter.