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Ondas estacionárias

Algumas animações sobre ondas estacionárias… Todas elas podem ser acessadas no Desmos, simulações estas que podem ser modificadas deliberadamente. Seguem os links:

Tubo com duas extremidades fechadas: https://www.desmos.com/calculator/furozafpzb

Tubo com ambas as extremidades abertas: https://www.desmos.com/calculator/hhpc9jfdbl

Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: https://www.desmos.com/calculator/grdqitedta

Seja um tubo de comprimento L. Vamos estudar cada um dos três casos, dando mais atenção às relações matemática que nos conceitos.

TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES FECHADAS

Seja o primeiro harmônico:

Primeiro Harmônico ou Harmônico fundamental.

Observe nós vemos apenas metade de uma onda, logo podemos dizer que o comprimento da onda aqui presenta é: $$L=\frac{\lambda_1}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_1 = 2\cdot L.$$

Vamos para o segundo harmônico:

Segundo Harmônico.

Note que agora o há exatamente um comprimento de onda dentro do tubo, com isso temos $$L=\lambda_2\Rightarrow$$ $$\lambda_2=L$$

Observe que agora no terceiro harmônico temos mais meio comprimento de onda dentro do tubo:

Terceiro Harmônico.

No terceiro harmônico temos: $$L=3\cdot \frac{\lambda_3}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_3=\frac{2L}{3}.$$

Se continuarmos com os demais estados estacionários vemos que o caso geral para o n-ésimo harmônico é $$\lambda_n=\frac{2L}{n}.$$

Vamos continuar com mais animações de estados estacionários.

Quarto Harmônico.

Quinto Harmônico.

Sexto Harmônico

Sétimo Harmônico.

Oitavo Harmônico.

Nono Harmônico.

Décimo Harmônico.

Se estivermos falando de uma onda numa corda, podemos usar a equação de Taylor, isto é:

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$\lambda_n\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$\frac{2L}{n}\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Nos próximos casos, fica como exercício demonstrar tais relações, apresentadas a seguir. Alguns gifs estarão no corpo do texto para tentar auxiliar você a chegar nestas equações, mas os links no início do texto permite que você veja todos os harmônicos, basta clicar para exibir alguns gráficos.

Qualquer dúvida poste aí…

TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES ABERTAS

Alguns harmônicos:

Primeiro Harmônico.

Segundo Harmônico.

Terceiro Harmônico.

Quarto Harmônico.

Tente encontrar assim o seguinte padrão para o n-ésimo harmônico:

$$\lambda_n=\frac{2L}{n}$$

 

Décimo Harmônico.

O resultado é portanto igual ao anterior:

$$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

TUBO COM UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA

Não fique esperando que neste último caso será igual… Na verdade, você verá (isso mesmo, tente desenhar num papel) que é possível colocar 1/4 de um comprimento de onda dentro do tubo, mas não 2/4, isto é, meio comprimento de onda. Você verá que somente um número ímpar de quarto de onda pode ser colocado dentro do tubo.

Faça os desenhos e tente verificar que

$$\lambda_n=\frac{4L}{n},\;\;n\;\;\text{ímpar}.$$

Veja as figuras e tente ver se verifica isto…

Primeiro Harmônico.

Terceiro Harmônico.

Quinto Harmônico.

Sétimo Harmônico.

Nono Harmônico.

Observe e conte quantos quartos do comprimento de onda aparece em cada caso. Apenas para ilustrar, veja a configuração do 19° harmônico:

Décimo nono Harmônico.

Com isso tudo podemos verificar que

$$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n\;\;\text{ímpar}$$

RESUMINDO

  • Tubo com duas extremidades fechadas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$
  • Tubo com ambas as extremidades abertas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;3,\;5,\;7,\;9…$$
  • Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: $$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$

Sendo F a força de tração na corda pela qual a onda percorre e a densidade linear da corda dada por $$\mu=\frac m L$$ sendo m a massa da corda e L o comprimento da corda. Note que consideramos que o comprimento da corda é L e que mesmo com a onda na corda o comprimento da onda não se altera. Isso porque a amplitude das ondas são pequenas, portanto todas as figuras anteriores estão muito exageradas…

Exercícios sugeridos

TODOS da lista de exercícios disponível no seguinte endereço:

http://profevertonrangel.blogspot.com/2013/05/ondas-estacionarias.html

Bons estudos!

Interferência de ondas (pulsos)

Pulso em uma onda

Imagine que você tenha uma corda e nela você produz um pulso, como na figura a seguir.

Falha no carregamento

Um pulso se propagando em uma corda esticada.

No outro extremo da corda você produz novo pulso, de amplitude diferente. Digamos, com uma amplitude três vezes maior:

Pulso produzido em uma corda e se propagando para a esquerda.

Observe a figura a seguir se você não se lembra o que é amplitude de uma onda onde mostramos duas “fotografias” dos dois pulsos e comparamos as suas amplitudes.

As duas ondas são representadas na figura: note que um dos pulsos (o que se propaga para a esquerda) possui amplitude três vezes maior que a outra (que se propaga para a direita).

Interferência construtiva

Agora imagine que ambos os pulsos sejam produzidos simultaneamente: um se propagando para a direita, de amplitude A e outro para a esquerda de amplitude 3A, o que teríamos? Basta ver a figura a seguir:

Observe que quando as ondas ocupam o mesmo local na corda elas se sobrepõem. No final é como se somássemos duas funções matemáticas.

Para melhorar a visualização, veja a figura a seguir onde demos uma pausa no exato instante em que emas se sobrepõem e, na figura logo abaixo, mostramos uma “fotografia” desse instante. Ou seja, quando as ondas se sobrepõem, no exato instante da sobreposição elas se somam, mas logo após esse encontro (que chamamos de interferência) cada uma segue seu caminho como se nada tivesse acontecido.

Somando dois pulsos dando uma parada no exato momento de interferência construtiva (quando ambas as amplitudes apontam para um mesmo lado).

As figuras a seguir mostram instantâneos (“fotografias”) antes, durante e depois a interferência ou sobreposição.

Figura representando instantâneo da onda sendo representadas as velocidades dos pulsos e as amplitudes.

Instantâneo da sobreposição dos pulsos.

Instantâneo das ondas após a sobreposição.

Note portanto que a amplitude resultante é a soma das amplitudes:

$$A_{resultante}=A_1+A_2$$

Em nosso caso:

$$A_{resultante}=A+3A=4A$$

Observe que isto é válido em TODOS os instantes, não apenas no instante em que as ondas se sobrepõem.

Interferência destrutiva

Agora, imagine que dois pulsos sejam produzidos em oposição de fase, isto é, um possui crista para cima (digamos, o que se propaga para a direita com amplitude A) e o outro com crista para baixo (em oposição, portanto, o que se desloca para a esquerda, de amplitude -3A). Note que vamos considerar que para cima é positivo, assim, observando as figuras abaixo, que são auto-explicativas, vemos que as ondas se sobrepõem e, no caso das ondas serem da mesma forma, a amplitude resultante será a soma das amplitudes.

$$A_{resultante}=A+(-3A)=-2A$$

Pulsos com oposição de fase se interferindo.

Pulsos de ondas interferindo destrutivamente: três instantâneos mostrando antes, depois e no exato instante de máxima sobreposição.

Interferência totalmente destrutiva

Se as duas ondas que sofrem interferência destrutiva tiverem amplitudes de mesmo módulos, porém opostas (uma para cima e outra para baixo) em algum instante a interferência será totalmente destrutiva, ou seja, em um instante a onda deixa de ser visível e o fio fica retilíneo como se nenhuma onda existisse nele.

Veja as duas próximas animações onde apresentamos ondas interferindo-se em “tempo real” (próxima figura) e com uma pausa no exato instante de interferência destrutiva (figura posterior).

Duas ondas de amplitudes de sobrepondo.

Observe que cada quadro da animação foi sendo mostrado mais lentamente com o intuito de mostrar que, em certo instante, a sobreposição das ondas tona-se nula.

Simulação

Nada como tentar fazer você mesmo(a). A seguir disponibilizo as simulações para vocês brincarem um pouco.

 

Equação de Taylor e a velocidade de uma onda em uma corda

Já que estamos falando de um pulso em uma corda, qual seria então a velocidade com que este pulso se propaga na corda?

A resposta é dada pela equação de Taylor apresentada a seguir:

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Sendo a tração no fio, que no sistema internacional é medido em newtons (ou abreviadamente N). O outro termo, no denominador, é a densidade linear e se calcula dividindo a massa m do fio pelo seu comprimento L:

$$\mu=\frac m L$$

 


Curso Completo de Eletromagnetismo – Graduação – UFSM

Curso completo de eletromagnetismo da Universidade Federal de Santa Maria.

MATERIAL INTRODUTÓRIO DE ÓPTICA

Segue um link de um material disponível em meu site, porém o recomendo para quem quer ir um pouquinho além na introdução ao estudo da óptica geométrica.
Aqui temos dois itens que são pouco abordados nos livros didáticos:

  • Um objeto verde realmente reflete apenas luz verde? (a resposta, ao contrário do que quase a totalidade dos livros de física básica diz, é que não)
  • Se um objeto está com uma velocidade qualquer se aproximando de um espelho plano com velocidade qualquer, como calcular a velocidade da imagem?

A resposta está aqui:

http://professordanilo.com/teoria/notas_de_aula/OPTICA-0.2.pdf

Se tiver dúvidas no material ou encontrar erros, compartilhe aqui.

Espero que ajude alguém.

 

 


Playlist da Univesp sobre Física Moderna

Recomendo assistirem a playlist a seguir, sejam professores, alunos ou curiosos. Mesmo que apenas para conhecer um pouco mais sobre essa magnífica área do conhecimento humano.

 

Material CEC – Poliedro Itatiba (Desde 2016)

Neste post estou disponibilizando todos os materiais que estou produzindo desde o ano de 2016 para o curso pré vestibular de Itatiba, o CEC – Poliedro.

Alunos e usuários em geral, fiquem a vontade para perguntar, criticar, elogiar e pedir ajuda em algum conteúdo específico.

Aperte a tecla “End” se quiser postar algum comentário (como dúvidas, erratas, e outros). Observo que os arquivos antigos não serão revisado e portanto erros não serão corrigidos. Este post é para manter um histórico do material e se você não for meu aluno e quiser este material para estudar, recomendo que use os arquivos mais recentes, caso já disponível.

UMA MUDANÇA IMPORTANTE ESTÁ OCORRENDO AQUI: no ano de 2016 eu dava aulas no curso diurno que tinha mais tempos (maior número de aulas e aulas maiores). Tendo em vista que este ano estou com a turma do noturno quinzenada, teremos menos tempo e por isso colocarei apenas slides principalmente de conteúdos que considero importante o bastante para passar, mas não o bastante para priorizar no pouco tempo que temos em aula.

Acredito que muitos dos meus alunxs trabalham, por isso disponibilizo estes materiais para tentar evitar que elxs percam tempo pesquisando na internet. Nestes materiais teremos exercícios resolvidos e conteúdos teóricos também.


 

CEC – Poliedro Itatiba 2017

Diferente do que fiz no ano passado, neste ano disponibilizo apenas um link para uma pasta compartilhada do DropBox. Divirtam-se:

https://www.dropbox.com/sh/ywqv5sv1nntqz7l/AAAROsEobBz5hOl4Hv5sezHca?dl=0


 

CEC – Poliedro Itatiba 2016


Material Elite Campinas (Desde 2016)

Aperte a tecla “End” se quiser postar algum comentário (como dúvidas, erratas, e outros). Observo que os arquivos antigos não serão revisado e portanto erros não serão corrigidos. Este post é para manter um histórico do material e se você não for meu aluno e quiser este material para estudar, recomendo que use os arquivos mais recentes, caso já disponível.


ELITE CAMPINAS 2018 

1$^o$ EM

Material primeiro colégio 2018

2$^o$ EM

Material segundo colégio 2018

3$^o$ EM

Material Terceiro colégio 2018

PRÉ VESTIBULAR

Material pré-vestibular 2018

 

 


 

ELITE CAMPINAS 2017 

 

1$^o$ EM

Material primeiro colégio 2017 e folhas preenchidas AQUI!

2$^o$ EM

Material segundo colégio 2017 e folhas preenchidas AQUI!

3$^o$ EM

Material Terceiro colégio 2017 e folhas preenchidas AQUI!

PRÉ VESTIBULAR

Material pré-vestibular 2017 e folhas preenchidas AQUI!

 


 

ELITE CAMPINAS 2016 

Neste post você poderá baixar todo o material de física que desenvolvi para uso no curso e colégio Elite Campinas.

Material Rec TODAS as turmas

1$^o$ EM

Material primeiro colégio 2016

2$^o$ EM

Material segundo colégio 2016

3$^o$ EM

Material Terceiro colégio 2016

PRÉ VESTIBULAR

Material pré-vestibular 2016

3$^o$ EM

Experimentos feitos com o terceiro ano: aula de ótica.

O EXPERIMENTO

20160520_214555 20160520_214604 20160520_214611

RESULTADO DO EXPERIMENTO

20160520_214527

20160520_214415

20160520_214531

Você pode ver o experimento que inspirou esta aula aqui

PRÉ VESTIBULAR

Gifs usados em Aulas

1 2 3 4 5 6

 

 

 

 

 

 

 

output_hp63Jv

TODAS

 

 

 

 

MOVIMENTANDO

 

 

 


Energia cinética dissipada em uma colisão

OBSERVAÇÃO: neste post não vou me ater aos detalhes do problema fazendo desenhos e representações, uma vez que meu objetivo é documentar uma demonstração de um problema que julgo difícil se feito por meios convencionais (teria que se resolver um sistema grande).

Aqui vou falar de forma geral sobre problemas que perguntam qual a energia dissipada em uma colisão entre dois corpos, que são bastante comuns. Demonstrar a equação abaixo usando sistemas é muito trabalhoso, assim vou apresentar uma alternativa para prová-la com muito menos trabalho.

Energia dissipara na colisão entre dois corpos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2}(v_2-v_1)^2(1-e^2)$$ sendo $$\mu$$ a massa reduzida do sistema constituído de duas massas $$m_1$$ e $$m_2$$ (massa dos corpos que sofrem colisão), $$v_1$$ e $$v_2$$ as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, antes da colisão e e o coeficiente de restituição elástica.

Usamos a massa reduzida do sistema para obter uma equação mais simples, mas a massa reduzida é dada por: $$\mu = \frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2}$$ e caso não se lembre (ou não saiba) o coeficiente de restituição elástica e é dado por: $$e=\frac{v_1′-v_2′}{v_2-v_1}$$ Aqui $$v_1’$$ e $$v_2’$$ são as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, após a colisão. Vale destacar aqui que não estamos trabalhando com os módulos das velocidades, mas sim com os valores escalares destas e estamos considerando uma colisão unidimensional.

Vou considerar dois problemas distintos:

  1. dois corpos com velocidades iniciais $$v_1$$ e $$v_2$$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $$v_3$$;
  2. dois corpos com velocidades iniciais $$v_1’$$ e $$v_2’$$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $$v_3’$$.

Isso mesmo, a segunda situação remete aos caso de uma colisão na qual dois corpos de massas $$m_1$$ e $$m_2$$, respectivamente, com velocidades  $$v_1’$$ e $$v_2’$$, iguais às velocidades finais do problema que queremos realmente resolver. Vamos lá:

PRIMEIRO CASO

A quantidade de movimento do sistema deve se conservar, então, na forma escalar (isto é, considerando que as velocidades podem ser poditivas ou negativas), temos a quantidade de movimento do sistema dada pot: $$Q_0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2$$ Agora, como a colisão é inelástica, a velocidade dos dois corpos serão iguais à $$v_3$$ e a quantidade de movimento final será $$Q_f=(m_1+m_2) \cdot v_3$$

Como a quantidade de movimento se conserva, $$Q_0=Q_f$$, ou seja:

$$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2=Q_f$$

Isolando $$v_3$$:

$$v_3=\frac{m_1\cdot v_1+m_2 \cdot v_2}{m_1+m_2}$$

Como a colisão é perfeitamente inelástica, vamos calcular a energia dissipada neste sistema. Temos que fazer um tantinho bom de cálculo, então vou pular algumas etapas, mas sugiro que as faça em um papel. Temos então que a energia dissipada $$E_{dissipada}’$$ é: $$E_{dissipada}’=E_{cin_{inicial}}-E_{cin_{final}}$$ Substituíndo os dados temos: $$ E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}$$

Substituindo $$v_3$$ encontrado anteriormente: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{m_1 + m_2}{2} \left ( \frac{m_1\cdot v_1^2+m_2 \cdot v_2^2}{m_1+m_2} \right )^2 $$

Fazendo a expansão chegaremos à: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1^2-2v_1v_2+v_2^2)=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1-v_2)^2$$

Substituindo pela massa reduzida $$\mu$$ descrita acima, obtemos: $$E_{dissipada}’=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1-v_2)^2$$

SEGUNDO CASO

Como todos os procedimentos são análogos ao anterior, o resultado do segundo caso será semelhante:$$E_{dissipada}”=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1′-v_2′)^2$$

CASO EM ESTUDO

Nosso caso de interesse não é nenhum dos dois, porém podemos entender o caso de uma colisão qualquer como sendo os dois anteriores, porém o últimos visto em ordem reversa. Tentarei explicar isso melhor.

Durante a colisão, vai haver um momento em que ambos os corpos atingem velocidades iguais, e neste caso temos que ambos se movem com velocidade $$v_3$$ (observe que estamos discutindo o que ocorre durante a colisão, mas que normalmente apenas nos interessamos no que ocorre antes ou depois). Nesse instante a energia cinética se reduziu de $$E_{dissipada}’$$ conforme o primeiro caso acima, porém ela não necessariamente foi dissipada em calor: um parte fica na forma de potencial elástica devido à deformação dos materiais envolvidos. Se a colisão é perfeitamente inelástica, esta é a energia dissipada; se a colisão é perfeitamente elástica, toda esta energia se transforma em energia potencial elástica que voltará a se transformar em energia cinética.

Após a colisão, a energia disponível é $$E_{dissipada}’$$, porém a parte que se transforma em energia cinética é a $$E_{dissipada}”$$ discutida no segundo caso, pois esta é a máxima energia cinética que o sistema do caso dois teria para perder (aqui é o potno chave e se não entendeu, releia o texto ou tente imaginar o que ocorre).

Assim, a energia realmente dissipada será: $$E_{dissipada}=E_{dissipada}’-E_{dissipada}”\Rightarrow E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left ( (v_1-v_2)^2-(v_1′-v_2′)^2\right ) $$

Usando o coeficiente de restituição elástica e para fazer a substituição $$v_1′-v_2’=e(v_1-v_2)$$, obtemos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left (  (v_1-v_2)^2-(e(v_1-v_2) \right ) ^2\Rightarrow $$ $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} (v_1-v_2)^2(1-e^2)$$

Isto era exatamente o que queríamos obter.


Material de Estudo Gratuito

Você pode acessar meu site: http://professordanilo.com/teoria/FISICA.html

Lá existem materiais didáticos, ainda em desenvolvimento, para você que quer estudar, ou precisa estudar, só. Alguns conteúdos, quando finalizados, haverá material extra com exercício para download.

Em meu canal você encontra videos com resoluções de questões de física:

youtube.com/c/professordanilo