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Resolução IME 2016 primeira fase

Observação 1: as respostas estão com a mesma cor de fundo, então para saber a resposta basta selecionar a linha escrito “RESPOSTA”.

Observação 2: eu pretendia montar a resolução da prova apenas de física, mas disponibilizar toda a prova aqui, com o gabarito abaixo da questão. Fiquei doente por uma semana e disponibilizar toda a resolução agora, depois da segunda fase, não faz mais sentido (iria disponibilizar para meus alunos), por essa razão, vou deixar disponível aqui apenas as resoluções que já havia feito e deixarei disponível apenas a prova de física e química digitada no blog.

Observação 3: você pode baixar a PROVA e o GABARITO. A prova da segunda fase você encontra aqui: (Matemática, Física, Química, Português/Inglês) e o gabarito da prova de Português/Ingles.

Observação 4: uma resolução mais completa você encontra em https://imeresolve.wordpress.com/category/vestibular-ime-201516/

QUESTÕES DE 1 A 15

MATEMÁTICA

1$^a$ QUESTÃO

Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

(A) $(G \cup F) – (F – H)$

(B) $(G \cup H) – (H – F)$

(D) $\overline G \cup ( H \cap F)$

(E) $(\overline H \cap G) \cap (G – F )$

RESPOSTA: C

2$^a$ QUESTÃO

O polinômio $x^3+ax^2+bx+c$ tem raízes reais $\alpha$,$-\alpha$ e $\frac 1 \alpha$. Portanto o valor da soma $b+c^2+ac+\frac b c^2$ é:

(A) −2

(B) −1

(D) 1

(E) 2

RESPOSTA: A

3$^a$ QUESTÃO

Sabendo-se que $m$ e $n$ são inteiros positivos tais que $3^m + 14400 = n^2$, determine o resto da divisão de $m+n$ por 5.

(A) 0

(B) 1

(D) 3

(E) 4

RESPOSTA: E

4$^a$ QUESTÃO

O valor do somatório abaixo é: $$\sum_{k=1}^{15} \rm{Img} \left ( cis^{2k-1}\frac {\pi} {36} \right )$$

(A) $\frac{2+ \sqrt 3}{4 \rm{sen} \frac {\pi}{36}}$

(B) $\frac{2- \sqrt 3}{4 \rm{sen} \frac {\pi}{36}}$

(D) $ \rm{sen} \frac {\pi}{36}$

(E) $\frac 1 4$

Observação: $\rm{Img}(w)$ é a parte imaginária de $w$.

RESPOSTA: A

5$^a$ QUESTÃO

Seja $P(x) = x^2 + ax + b$. Sabe-se que $P(x)$ e $P(P(P(x)))$ têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor $a$ e $b$

(A) $P(−1)P(1) < 0$

(B) $P(−1)P(1) = 0$

(D) $P(0)P(1) = 0$

(E) $P(0) + P(1) = 0$

RESPOSTA: D

6$^a$ QUESTÃO

Sabendo-se que os números reais positivos $a$, $b$ e $c$ formam uma progressão geométrica e $\rm{log} \left ( \frac{5c}{a} \right )$, $\rm{log} \left( \frac{3b}{5c} \right )$ e $\rm{log} \left ( \frac{a}{3b} \right )$ formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que $a$, $b$ e $c$

(A) formam os lados de um triângulo obtusângulo.

(B) formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.

(D) formam os lados de um triângulo retângulo.

(E) não podem formar os lados de um triângulo.

RESPOSTA: E

7$^a$ QUESTÃO

O valor da soma abaixo é:

$$\binom{2016}{5}+ \binom{2017}{5}+ \binom{2018}{5}+ \binom{2019}{5} + \binom{2020}{5}+ \binom{2016}{5}$$

(A) $\binom{2020}{6}$

(B) $\binom{2020}{7}$

(D) $\binom{2021}{6}$

(E) $\binom{2022}{5}$

RESPOSTA: D

8$^a$ QUESTÃO

Os inteiros $n$ e $m$ são sorteados do conjunto $\left \{1,2,3,…,2016 \right \}$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto $ n \times m$ ser múltiplo de 12?

(A) $\frac{5}{12}$

(B) $\frac{5}{18}$

(D) $\frac{5}{36}$

(E) $\frac{5}{144}$

RESPOSTA: B

9$^a$ QUESTÃO

Seja $A=\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$. O maior valor de $a$, com $a \neq 1$, que satisfaz $A^{24}= I$:

(A) $\frac 1 2 $

(B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(D) $\frac{\sqrt{2}}{4} \left ( \sqrt{3} -1 \right )$

(E) $\frac{\sqrt{2}}{4} \left ( \sqrt 3 + 1 \right )$

Observação: $I$ é a matriz identidade $2 \times 2$.

RESPOSTA: E

10$^a$ QUESTÃO

Quantos inteiros $k$ satisfazem à desigualdade $2\sqrt{\rm{log}_{10}k-1}+10\rm{log}_{10^{-1}} \; k^{1/4}+3>0$?

(A) 10

(B) 89

(D) 99

(E) 100

RESPOSTA: C

11$^a$ QUESTÃO

Seja a equação $\frac{\rm{sen}(2x)}{\rm{tg}x}=\frac 1 2 \ $. As soluções dessa equação para $x \in \left [ -\frac{\pi}{2}, \pi \right ]$, formam um polígono no círculo trigonométrico de área

(A) $\frac {\sqrt{3}} {2}$

(B) $\sqrt 3$

(D) $\frac 1 2$

(E) $1$

RESPOSTA: A

12$^a$ QUESTÃO

O lugar geométrico dos pontos em $\mathbb{R}^2$ equidistantes às retas de equações $$ 4x + 3y – 2 = 0 \; \; \rm{e} \; \; 12x – 16 y + 5 = 0$$

(A) $4x + 28 y + 13 = 0$

(B) $8x – 7y – 13 = 0$

(D) $56x^2 + 388xy – 184x – 56y^2 – 16y + 19 =0$

(E) $112x^2 + 768xy – 376x – 112y^2 – 32y + 39 =0$

RESPOSTA: E

13$^a$ QUESTÃO

Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. O valor máximo da relação $ \left ( \frac{a}{b} \right ) ^2 $ é

(A) 2

(B) $ 1+\sqrt3$

(D) $1+2 \sqrt2$

(E)$2+2sqrt3$

RESPOSTA: C

14$^a$ QUESTÃO

Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo Â. Sabe-se que

$$ \overline{AC}=\overline{AD}, \; r=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \; \rm{e} \; \rm{que} \; \hat{C}=\alpha $$

Portanto o valor de $\rm{sen}^2\alpha$ é

(A) $\frac{3r-1}{4}$

(B) $\frac{3r-1}{4r}$

(D) $\frac{3r+1}{4r}$

(E) $\frac{3r+1}{4}$

RESPOSTA: D

15$^a$ QUESTÃO

Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma distância d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S. Qual a distância entre estes planos distintos em função de a, de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?

(A) $\frac{a}{2}$

(B) $\frac{a\sqrt3}{2}$

(D) $\frac{a\sqrt[4]{8}}{2}$

(E) $\frac{a(4-3\sqrt2)}{2}$

RESPOSTA: D

QUESTÕES DE 16 A 30

FÍSICA

16$^a$ QUESTÃO

Um corpo de carga positiva, inicialmente em repouso sobre uma rampa plana isolante com atrito, está apoiado em uma mola, comprimindo-a. Após ser liberado, o corpo entra em movimento e atravessa uma região do espaço com diferença de potencial V, sendo acelerado. Para que o corpo chegue ao final da rampa com velocidade nula, a distância d indicada na figura é

Dados:

deformação inicial da mola comprimida: x;
massa do corpo: m;
carga do corpo: + Q;
aceleração da gravidade: g;
coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a rampa: $\mu$;
ângulo de inclinação da rampa: $\theta$;
constante elástica da mola: K.

Considerações:

despreze os efeitos de borda;
a carga do corpo permanece constante ao longo da trajetória.

(A) $\frac{Kx^2+2QV}{2(1+\mu)mg\rm{sen}\theta}$

(B) $\frac{Kx^2+QV}{2(1+\mu)mg\rm{sen}\theta}$

(D) $\frac{Kx^2-2QV}{2mg(\rm{sen}\theta +\mu \rm{cos}\theta)}$

(E) $\frac{Kx^2+2QV}{2mg(\rm{sen}\theta +\mu \rm{cos}\theta)}$

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO

17$^a$ QUESTÃO

Uma partícula de massa m e carga + Q encontra-se confinada no plano XY entre duas lâminas infinitas de vidro, movimentando-se sem atrito com vetor velocidade (v,0,0) no instante t = 0, quando um dispositivo externo passa a gerar um campo magnético dependente do tempo, cujo vetor é (f(t),f(t),B), onde B é uma constante. Pode-se afirmar que a força normal exercida sobre as lâminas é nula quando t é

Consideração:

desconsidere o efeito gravitacional.

(A) $\left ( \frac{m}{QB} \right ) \frac{\pi}{8}$

(B) $\left ( \frac{m}{QB} \right ) \frac{\pi}{4}$

(D) $\left ( \frac{m}{QB} \right )\pi$

(E) $ 2 \left ( \frac{m}{QB} \right ) \pi$

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO

18$^a$ QUESTÃO

A figura acima, cujas cotas estão em metros, exibe uma estrutura em equilíbrio formada por três barras rotuladas AB, BC e CD. Nos pontos B e C existem cargas concentradas verticais. A maior força de tração que ocorre em uma barra, em kN, e a altura h, em metros, da estrutura são

Consideração:

as barras são rígidas, homogêneas, inextensíveis e de pesos desprezíveis.

(A) 50,0 e 2,50

(B) 31,6 e 1,67

(D) 50,0 e 1,67

(E) 58,3 e 2,50

RESPOSTA: C

19$^a$ QUESTÃO

Uma fonte sonora está situada no ponto de coordenadas x = 0 m e y = 0 m e outra no ponto de coordenadas x = 0 m e y = 4 m. As ondas produzidas pelas duas fontes têm a mesma frequência e estão em fase. Um observador situado no ponto de coordenadas x = 3 m e y = 0 m nota que a intensidade do som diminui quando ele se move paralelamente ao eixo y no sentido positivo ou no sentido negativo. Se a velocidade do som no local é 340 m/s, a menor frequência das fontes, em Hz, que pode explicar essa observação é

(A) 85

(B) 170

(D) 680

(E) 1360

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO

20$^a$ QUESTÃO

Na Figura 1, o corpo A, constituído de gelo, possui massa m e é solto em uma rampa a uma altura h. Enquanto desliza pela rampa, ele derrete e alcança o plano horizontal com metade da energia mecânica e metade da massa iniciais. Após atingir o plano horizontal, o corpo A se choca, no instante 4T, com o corpo B, de massa m, que foi retirado do repouso através da aplicação da força $f(t)$, cujo gráfico é exibido na Figura 2.

Para que os corpos parem no momento do choque, F deve ser dado por

Dado:

aceleração da gravidade: g.

Observações:

o choque entre os corpos é perfeitamente inelástico;
o corpo não perde massa ao longo de seu movimento no plano horizontal.

(A) $\frac{m\sqrt{2gh}}{8T}$

(B) $\frac{m\sqrt{2gh}}{6T}$

(D) $\frac{m\sqrt{2gh}}{3T}$

(E) $\frac{m\sqrt{2gh}}{2T}$

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO

21$^a$ QUESTÃO

Considerando o esquema acima, um pesquisador faz três afirmações que se encontram listadas a seguir:

Afirmação I. Se a diferença de pressão entre os dois reservatórios ($P_A – P_B$) for equivalente a 20 mm de coluna de água, a variação de massa específica entre os dois fluidos ($\rho_1 – \rho_2$) é igual a 0,2 kg/L.

Afirmação II. Se o Fluido 1 for água e se a diferença de pressão ($P_A – P_B$) for de 0,3 kPa, a massa específica do Fluido 2 é igual a 0,7 kg/L.

Afirmação III. Caso o Fluido 1 tenha massa específica igual à metade da massa específica da água, o Fluido 3 (que substitui o Fluido 2 da configuração original) deve ser mais denso do que a água para que a diferença de pressão entre os reservatórios seja a mesma da afirmação I.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmação(ões)

Dados:

massa específica da água: 1 kg/L;
aceleração da gravidade: 10 m/s$^2$ ;
Para as afirmações I e II: $L_1 = 0,30$ m e $L_2 = 0,40$ m;
Para a afirmação III apenas: $L_1 = 0,60$ m e $L_2 = 0,80$ m.

Consideração:

os fluidos são imiscíveis.

(A) I apenas.

(B) II apenas.

(D) I e II apenas.

(E) I, II e III.

RESPOSTA: D

22$^a$ QUESTÃO

Um corpo rígido e homogêneo apresenta seção reta com dimensões representadas na figura acima. Considere que uma força horizontal $F$, paralela ao eixo $x$, é aplicada sobre o corpo a uma distância de 1,5 u.c. do solo e que o corpo desliza sem atrito pelo solo plano horizontal. Para que as duas reações do solo sobre a base do corpo sejam iguais, a distância $y$, em u.c., deverá ser

Consideração:

u.c. – unidade de comprimento.

(A) $cos(\pi/3)$

(B) $\rm{sen}(\pi/3)$

(D) $2\rm{sen}(\pi/3)$

(E) $3cos(\pi/3)$

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO

23$^a$ QUESTÃO

A figura acima apresenta o esquema de ligação de um instrumento usado para medir a potência fornecida a uma carga. Sabe-se que a leitura de potência do instrumento em regime permanente é $P_{instrumento} = C \cdot I_p \cdot I_c$ e que o erro relativo é $\varepsilon =\frac{P_{instrumento} -P_{real}}{P_{real}}$. Diante do exposto, o valor da resistência $R_p$ do instrumento deve ser igual a

Dados:

potência medida na resistência $R$ empregando-se o instrumento: $P_{instrumento}$;
potência real dissipada na resistência $R$: $P_{real}$;
constante do instrumento: $C$;
tensão de alimentação do circuito: $V$;
corrente da bobina de potencial ($B_p$): $I_p$;
corrente da bobina de corrente ($B_c$): $I_c$.

Considerações:

$R\ll r_p$; e
$R \gg R_c$.

(A) $\frac{C}{\varepsilon}$

(B) $\frac{2C}{\varepsilon}$

(D) $\frac{C}{1-\varepsilon}$

(E) $\frac{C}{2(1+\varepsilon)}$

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO

24$^a$ QUESTÃO

Um circuito é composto por capacitores de mesmo valor $C$ e organizado em três malhas infinitas. A capacitância equivalente vista pelos terminais A e B é

(A) $(3^{1/2}+7)\frac{C}{6}$

(B) $(3^{1/2}+1)\frac{C}{3}$

(D) $(3^{1/2}+5)\frac{C}{2}$

(E) $(3^{1/2}+1)\frac{C}{2}$

RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO

25$^a$ QUESTÃO

Uma corda de comprimento $L$ e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a $\omega$. Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade $v$ do pulso, no referencial da corda, a uma distância $r$ da extremidade fixa é dada por

(A) $\omega \frac{L-r}{\sqrt2}$

(B) $\omega \sqrt{\frac{L(L-r)}{2}}$

(D) $\omega \sqrt{\frac{L^2-r^2}{2}}$

(E) $\frac{\omega L}{\sqrt 2} \sqrt{\frac{L-r}{L+r}}$

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO

26$^a$ QUESTÃO

Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações $x_1(t) = 3cos(t)$ e $y_1(t) = 4\rm{sen}(t)$, sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como $x_2(t) = 5cos(t)$ e $y_2(t) = 5\rm{sen}(t)$. O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação:

Observações:

os eixos $x_1$ e $x_2$ são paralelos e possuem o mesmo sentido; e
os eixos $y_1$ e $y_2$ são paralelos e possuem o mesmo sentido.

(A) $9x^2+16y^2=25$

(B) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=25$

(D) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(E) $4x^2+y^2=4$

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO

27$^a$ QUESTÃO

Um circuito é alimentado por uma bateria através de uma chave temporizada ch que após o seu fechamento, abrir-se-á depois de transcorrido um período de tempo igual a $T$. Esse circuito é formado por segmentos de condutores com a mesma seção, mesma resistividade e comprimentos indicados na figura. Também estão inseridos cinco fusíveis $f_1$ a $f_5$, que têm a função de manter a continuidade do fluxo de corrente e de manter os segmentos conectados. Sempre que um dos fusíveis queimar, o segmento imediatamente à esquerda vai girar no sentido horário, fechando o contato, através de um batente, após decorridos $T/4$. Sabe-se que cada fusível necessita de $T/4$ para se romper diante de uma corrente maior ou igual à corrente de ruptura. A partir do fechamento da chave temporizada ch até a sua abertura, a energia consumida pelo circuito é igual a

Dados:

correntes de ruptura para cada fusível a partir da direita:
- o $f_1$: 0,9 $I$;
- o $f_2$: 1,1 $I$;
- o $f_3$: 1,5 $I$;
- o $f_4$: 1,8 $I$; e
- o $f_5$: 2,1 $I$.
resistividade do segmento: $\rho$;
seção do fio: $S$;
diferença de potencial da bateria: $U$.

Observações:

$I$ corresponde a corrente elétrica com todos os fusíveis ligados;
desconsidere a resistência dos fusíveis, da chave, dos fios e dos engates que conectam a fonte ao circuito.

(A) $\left ( \frac{1}{24}+\frac{1}{20}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(B) $\left ( \frac{1}{34}+\frac{1}{24}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(D) $\left ( \frac{1}{62}+\frac{1}{44}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

(E) $\left ( \frac{1}{62}+\frac{1}{22}\right ) \frac{U^2ST}{\rho L}$

RESPOSTA: D

28$^a$ QUESTÃO

A figura acima apresenta um desenho esquemático de um projetor de imagens, onde A é um espelho e B e C são lentes. Com relação aos elementos do aparelho e à imagem formada, pode-se afirmar que

(A) o espelho convexo A, colocado atrás da lâmpada, tem por finalidade aumentar a intensidade da luz que incide no objeto (filme).

(B) o filamento da lâmpada deve situar-se no plano focal do espelho A, para que sua imagem real se forme nesse mesmo plano.

(D) a lente delgada C é convergente de borda delgada, possuindo índice de refração menor que o meio.

(E) as lentes plano-convexas B poderiam ser substituídas por lentes de Fresnel, menos espessas, mais leves, proporcionando menor perda da energia luminosa.

RESPOSTA: E

29$^a$ QUESTÃO

Um raio luminoso atravessa um prisma de vidro de índice de refração n, imerso em água, com índice de refração $n_{água}$. Sabendo que tanto o ângulo $\alpha$ como o ângulo de incidência são pequenos, a razão entre o desvio angular $\Delta$ e o $\alpha$ será

(A) $\frac{n}{n_{água}}-1$

(B) $\frac{n}{n_{água}}+1$

(D) $\frac{n}{n_{água}}+\frac 1 2$

(E) $\frac{n_{água}}{n}-1$

RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO

30$^a$ QUESTÃO

Um êmbolo está conectado a uma haste, a qual está fixada a uma parede. A haste é aquecida, recebendo uma energia de 400 J. A haste se dilata, movimentando o êmbolo que comprime um gás ideal, confinado no reservatório, representado na figura. O gás é comprimido isotermicamente.

Diante do exposto, o valor da expressão: $\frac{P_f-P_i}{P_f}$ é

Dados:

pressão final do gás: $P_f$ ;
pressão inicial do gás: $P_i$ ;
capacidade térmica da haste: 4 J/K;
coeficiente de dilatação térmica linear da haste: 0,000001 K$^{-1}$ .

(A) 0,01

(B) 0,001

(D) 0,00001

(E) 0,000001

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO

“Regra do Tombo”

5 respostas

Se quiser um resumo, vá para o final do post. Além disso, estou assumindo algum conhecimento de física e matemática, mas não de cálculo (ensino superior). Tentei dar explicações simples de conceitos mais elaborados, entretanto alguns passos achei difíceis de explicar, portanto certamente teremos alguma perda de rigor.

Você já deve ter ouvido falar dessa tal de regra do tombo, certo? Se não, vou apresentá-la, sem entrar em detalhes. Ela será útil para lembrar de algumas fórmulas sem lançar mão daquelas “frases” tão usadas.

Primeiro, a “regra do tombo” exige que você tenha algum conhecimento prévio do assunto no qual você irá aplicá-la. Por exemplo, digamos que você sabe de antemão algumas fórmulas (sempre na forma de razão). Por exemplo, sabemos que $v=\frac{\Delta S}{\Delta t}, $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$ e F=\frac{\tau}{\Delta S}$.

Sendo $v$ a velocidade, $S$ o deslocamento, $t$ o tempo, $a$ a aceleração, $\tau$ o trabalho, $F$ a força e $\Delta$ representa a variação de uma grandeza (isto é, a grandeza final menos a inicial).

Estes são apenas alguns exemplos, mas poderíamos usar muitos outros. Vamos então começar a falar o que é essa “regra”.

A grandeza do numerador (parte de cima da fração) deve depender da grandeza do denominador (parte de baixo da fração) e quem irá sofrer o tombo é a grandeza no denominador. Por exemplo, para achar a velocidade, temos de antemão que a posição deve depender do tempo e quem sofre o tombo é o tempo, pois este estaria no denominador. Vamos à um exemplo: sabemos que $v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$ para o caso em que a velocidade é constante, então comecemos com a equação da posição. Digamos que um corpo percorre uma trajetória retilínea tal que a equação horária é dada pela seguinte equação: $s(t)=3t^2$A “regra do tombo” diz para “derrubar” o expoente 2 do tempo (note que o tempo é quem está no denominador da equação que temos inicialmente). Esse expoente vai passar multiplicando o número 3, depois subtraímos um do expoente. Assim temos:

$v=\rm{TOMBO}s_{em \; t} =2\cdot 3 t^{2-1}=6t$

E esta é a equação da velocidade. Vamos para mais um exemplo?

Observe que a fração inicial, no caso anterior $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$, só serve para sabermos a função (numerador, parte de cima da fração) que vamos tombar e o denominador (o que está em baixo da fração) nos diz quem vai sofrer o tombo (lembre-se de que esta equação é válida somente no movimento uniforme, mas ela nos auxilia a determinar qual função e qual variável irá “tombar”). Assim, mais um exemplo para a velocidade.

Seja dada a equação da posição $s(t)=3t+2t^2$Aplicando o tombo, temos:

$v=\rm{TOMBO}s_{em \; t} =1\cdot 3 t^{1-1}+2\cdot 2t^{2-1}=3t^0+4t=3+4t$

Como todo número elevado à zero é 1, então dizemos que $t^0=1$ (na verdade isso é um pouco impreciso, pois $0^0$ é uma indeterminação, assim por hora tomaremos $t^0=1$ para todo o caso porque simplifica a nossa vida).

Ta muito fácil, não está? Vamos complicar um pouco… Seja a equação horária $s(t)=3t^{\frac{4}{3}}+2\sqrt{t}$. Determine a equação da velocidade e da aceleração do móvel que obedece esta equação.

Vamos aplicar o tombo:

$v=\rm{TOMBO}s_{em \; t} =\frac{4}{3} \cdot 3 t^{\frac{4}{3}-1}+\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}-1}$

Observe que substituímos $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$e aplicamos a “regra” normalmente. Continuando:

$v=3t^{\frac{4}{3}-\frac{3}{3}}+t^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}=4t^{\frac{1}{3}}+t^{\frac{-1}{2}} \Rightarrow $

$v=3\sqrt[3]{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$.

Ufa! Acabou…

Entendeu? Este processo é geral, ou seja, é aplicado para qualquer função $f(x)$ desde que saibamos o que é a razão $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$. Quando constante, esta razão terá um significado, assim quando variável obtemos este significado pela regra do tombo. Abaixo vou dar mais alguns exemplos. Mas vamos para exemplos não numéricos, isto é, vamos usar algumas fórmulas conhecidas para chegar em outras.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Vamos começar com a equação do “sorvetão”: $s(t)=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$. Como já vimos, “tombamos” $t$para acharmos $v$. Primeiro, vamos reescrever $s(t)$ de maneira mais conveniente:

$s(t)=s_0\cdot t^0+v_0 \cdot t^1+\frac{1}{2}a\cdot t^2$

Aplicando o tombo: $v=0+v_0\cdot 1+2\cdot \frac{1}{2} a \cdot t^{2-1} \Rightarrow $$v(t)=v_0+at$

Sabemos que $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$quando a aceleração é constante, então aplicando o tombo na equação acima obtemos a aceleração. Verifique você mesmo que obterá $a=a$ como tinha que ser… 🙂

FORÇA ELÁSTICA

Temos que começar com alguma fração conhecida. No caso, sabemos que $F=\frac{\tau}{\Delta s}$. Quando comprimimos uma mola de uma distância $\Delta s=x$, realizamos um trabalho

$\tau = -\Delta E_{potencial}$,

isto é, “damos” energia potencial para a mola. Assim, podemos escrever que:

$F_{elástica}=-\frac{\Delta E_{potencial}}{\Delta s}$

Observe que esta equação seria válida somente para força constante, como a força peso, por exemplo, mas não para a mola que tem uma força variável. Se a força fosse constante a encontraríamos pela razão obtida, mas como não é temos que usar a regra do tombo. Assim, se soubermos a energia potencial de uma mola conseguimos descobrir a força.

Com isso, sabendo que $E_{potencial}=\frac{kx^2}{2}$aplicamos o tombo em $x$:

$F_{elástica}=-2\cdot \frac{k\cdot x^{2-1} }{2} \Rightarrow $$F_{elástica}=-kx$.

FORÇA GRAVITACIONAL

Para finalizar, lembremos da fórmula da energia potencial gravitacional:

$E_{pot}=-\frac{GMm}{d}=-GMmd^{-1}$.

Por uma discussão análoga à anterior, aplicando o “tombo” em $d$ obtemos a força gravitacional:

$F_{grav}=-\left [-(-1)GMmd^{-1-1}\right ]\Rightarrow $$F_{grav}=-\frac{GMm}{d^2}$.

Os sinais aqui confundem um pouco, mas o que importa é que chegamos na forma da força gravitacional. O sinal de menos é interpretado da seguinte forma: a força gravitacional é oposta ao vetor posição.

A sugestão que deixo é que não se preocupe com o sinal, pois a explicação mais detalhada do sinal vem de um assunto que é abordado no ensino superior chamado de gradiente.

Você pode fazer isso para a energia potencial gravitacional próxima à superfície da Terra:

$E_{pot}=mgh\Rightarrow F_{grav}=-mg$.

O sinal de menos surge porque a força é para baixo, sendo a altura medida de baixo para cima.

FORÇA ELÉTRICA

Esta fica como exercício…

Sabendo a energia elétrica:

$E_{pot}=K\frac{Q\cdot q}{d}$,

você deverá obter parfa o módulo da força a seguinte relação:

$F=K\frac{Q\cdot q}{d^2}$.

Na realidade, tomando um referencial simular ao discutido para força gravitacional, podemos dizer que esta relação também leva em conta os sinais das cargas. Reflita sobre isso: se as cargas tiverem o mesmo sinal, a força é repulsiva, afinal obteremos um valor negativo para ela; se as cargas tiverem sinais opostos, a força elétrica é atrativa, afinal obteríamos a força com um valor negativo.

M.H.S.

Acredito que este seja o ponto mais útil da “regra do tombo”, pois demonstrar todas as equações do M.H.S. sem usar esta ferramenta é mais trabalhoso.

Primeiro temos que aprender como aplicar a regra do tombo para funções trigonométricas, pois a equação do M.H.S. é $x(t)=Acos(\omega t +\phi _0)$. Abaixo, temos a esquerda uma função trigonométrica e à direita a mesma função “tombada”:

$\rm{sen} x \Rightarrow \rm{cos} x$

$\rm{cos} x \Rightarrow -\rm{sen} x$

Usaremos isso logo abaixo. Mas antes temos que entender a regra do tombo para funções compostas (ou regra da cadeia).

Seja uma função composta $f(g(x))$. Para aplicar a regra do tombo, nós consideramos que $g(x)=y$, sendo $y$ outra variável, “tombamos” $f(y)$ em relação à $y$ e multiplicamos o resultado por $g(x)$ “tombada”.

Vamos à um exemplo.

Seja $f(x)=5 \cdot \rm{sen}(2x^3+8)$. Para tombar $f(x)$ temos que perceber que esta é uma função composta em que $f(x)=f(g(x))$ e $g(x)=2x^3+8$. Pelo procedimento descrito acima, escrevemos $g(x)=y$ e tombamos $f(y)$ em relação à $y$:
$$f(y)=5\rm{sen}y \Rightarrow 5\rm{cos}y.$$

Depois tombamos $g(x)=y$ e multiplicamos pelo resultado anterior: $$g(x)=2x^3+8 \Rightarrow 6x^2$$.

Multiplicando os dois temos: $$5\cdot \rm{cos}(2x^3+8)\cdot 6x^2=30x^2\cdot\rm{cos}(2x^3+8).$$

Agora vamos tentar com a equação do M.H.S.. Temos primeiro a equação da posição: $x(t)=Acos(\omega t +\phi _0)$. Lembrando que tombar $x$ em relação ao tempo encontra-se a velocidade, então: $$v(t) = A\cdot -sen(\omega t +\phi _0) \cdot(\omega) \Rightarrow $$
$$v(t)=-A \omega \rm{sen}(\omega t + \phi _0).$$

O termo que coloquei entre parêntesis na frente da primeira igualdade é o “tombo” aplicado no termo de dentro da função trigonométrica.

Se aplicarmos a regra novamente encontramos a aceleração: $$a(t)=-A\omega ^2 \rm{cos}(\omega t + \phi _0).$$
Observe que $a = -\omega ^2 x$ e esta é uma equação extremamente importante no M.H.S..

RESUMÃO

Regra do tombo para polinômios:

$$x^n \overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} n\cdot x^{n-1}$$

Regra do tombo para funções trigonométricas:

$$\rm{sen} x \overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} \rm{cos} x$$

$$\rm{cos} x \overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} -\rm{sen} x$$

Funções compostas:

$$f(g(x))=f(y)\overset{\rm{tombo}}{\Rightarrow} (\rm{tomba} \; f(y))\cdot (\rm{tomba}\; g(x))$$

Energia cinética dissipada em uma colisão

3 respostas

OBSERVAÇÃO: neste post não vou me ater aos detalhes do problema fazendo desenhos e representações, uma vez que meu objetivo é documentar uma demonstração de um problema que julgo difícil se feito por meios convencionais (teria que se resolver um sistema grande).

Aqui vou falar de forma geral sobre problemas que perguntam qual a energia dissipada em uma colisão entre dois corpos, que são bastante comuns. Demonstrar a equação abaixo usando sistemas é muito trabalhoso, assim vou apresentar uma alternativa para prová-la com muito menos trabalho.

Energia dissipara na colisão entre dois corpos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2}(v_2-v_1)^2(1-e^2)$$ sendo $\mu$ a massa reduzida do sistema constituído de duas massas $m_1$ e $m_2$ (massa dos corpos que sofrem colisão), $v_1$ e $v_2$ as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, antes da colisão e e o coeficiente de restituição elástica.

Usamos a massa reduzida do sistema para obter uma equação mais simples, mas a massa reduzida é dada por: $$\mu = \frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2}$$ e caso não se lembre (ou não saiba) o coeficiente de restituição elástica e é dado por: $$e=\frac{v_1′-v_2′}{v_2-v_1}.$$ Aqui $v_1′$ e $v_2′$ são as velocidades dos corpos 1 e 2, respectivamente, após a colisão. Vale destacar aqui que não estamos trabalhando com os módulos das velocidades, mas sim com os valores escalares destas e estamos considerando uma colisão unidimensional.

Vou considerar dois problemas distintos:

dois corpos com velocidades iniciais $v_1$ e $v_2$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $v_3$;
dois corpos com velocidades iniciais $v_1′$ e $v_2′$ que colidem inelasticamente e unidimensionalmente, com velocidade final $v_3′$.

Isso mesmo, a segunda situação remete aos caso de uma colisão na qual dois corpos de massas $m_1$ e $m_2$, respectivamente, com velocidades $v_1′$ e $v_2′$, iguais às velocidades finais do problema que queremos realmente resolver. Vamos lá:

PRIMEIRO CASO

A quantidade de movimento do sistema deve se conservar, então, na forma escalar (isto é, considerando que as velocidades podem ser positivas ou negativas), temos a quantidade de movimento do sistema dada pot: $$Q_0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2.$$ Agora, como a colisão é inelástica, a velocidade dos dois corpos serão iguais à $v_3$ e a quantidade de movimento final será $$Q_f=(m_1+m_2) \cdot v_3.$$

Como a quantidade de movimento se conserva, $Q_0=Q_f$, ou seja:

$$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2=Q_f.$$

Isolando $v_3$:

$$v_3=\frac{m_1\cdot v_1+m_2 \cdot v_2}{m_1+m_2}.$$

Como a colisão é perfeitamente inelástica, vamos calcular a energia dissipada neste sistema. Temos que fazer um tantinho bom de cálculo, então vou pular algumas etapas, mas sugiro que as faça em um papel. Temos então que a energia dissipada $E_{dissipada}’$ é: $$E_{dissipada}’=E_{cin_{inicial}}-E_{cin_{final}}.$$ Substituíndo os dados temos: $$ E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}.$$

Substituindo $v_3$ encontrado anteriormente: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}-\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{m_1 + m_2}{2} \left ( \frac{m_1\cdot v_1^2+m_2 \cdot v_2^2}{m_1+m_2} \right )^2. $$

Fazendo a expansão chegaremos à: $$E_{dissipada}’=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1^2-2v_1v_2+v_2^2)$$

$$\Rightarrow E_{dissipada}’=\frac{m_1 \cdot m_2}{2(m_1 + m_2)}\cdot (v_1-v_2)^2.$$

Substituindo pela massa reduzida $\mu$ descrita acima, obtemos: $$E_{dissipada}’=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1-v_2)^2.$$

SEGUNDO CASO

Como todos os procedimentos são análogos ao anterior, o resultado do segundo caso será semelhante: $$E_{dissipada}”=\frac{\mu}{2}\cdot (v_1′-v_2′)^2.$$

CASO EM ESTUDO

Nosso caso de interesse não é nenhum dos dois, porém podemos entender o caso de uma colisão qualquer como sendo os dois anteriores, porém o últimos visto em ordem reversa. Tentarei explicar isso melhor.

Durante a colisão, vai haver um momento em que ambos os corpos atingem velocidades iguais, e neste caso temos que ambos se movem com velocidade $v_3$ (observe que estamos discutindo o que ocorre durante a colisão, mas que normalmente apenas nos interessamos no que ocorre antes ou depois). Nesse instante a energia cinética se reduziu de $E_{dissipada}’$ conforme o primeiro caso acima, porém ela não necessariamente foi dissipada em calor: um parte fica na forma de potencial elástica devido à deformação dos materiais envolvidos. Se a colisão é perfeitamente inelástica, esta é a energia dissipada; se a colisão é perfeitamente elástica, toda esta energia se transforma em energia potencial elástica que voltará a se transformar em energia cinética.

Após a colisão, a energia disponível é $E_{dissipada}’$, porém a parte que se transforma em energia cinética é a $E_{dissipada}”$ discutida no segundo caso, pois esta é a máxima energia cinética que o sistema do caso dois teria para perder (aqui é o ponto chave e se não entendeu, releia o texto ou tente imaginar o que ocorre).

Assim, a energia realmente dissipada será: $$E_{dissipada}=E_{dissipada}’-E_{dissipada}”\Rightarrow $$

$$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left ( (v_1-v_2)^2-(v_1′-v_2′)^2\right ). $$

Usando o coeficiente de restituição elástica e para fazer a substituição $v_1′-v_2’=e(v_1-v_2)$, obtemos: $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} \left ( (v_1-v_2)^2-(e(v_1-v_2) \right ) ^2\Rightarrow $$ $$E_{dissipada}=\frac{\mu}{2} (v_1-v_2)^2(1-e^2).$$

Isto era exatamente o que queríamos obter.

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Energia cinética dissipada em uma colisão

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