Algumas animações sobre ondas estacionárias… Todas elas podem ser acessadas no Desmos, simulações estas que podem ser modificadas deliberadamente. Seguem os links:
Tubo com duas extremidades fechadas: https://www.desmos.com/calculator/furozafpzb
Tubo com ambas as extremidades abertas: https://www.desmos.com/calculator/hhpc9jfdbl
Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: https://www.desmos.com/calculator/grdqitedta
Vamos imaginar uma corda de comprimento L e produzir uma onda nela: o resultado que vamos obter corresponde à uma onda parada, uma vez que a onda fica presa na corda e acaba interferindo-se com ela mesma.
Tal assunto também é abordado quando falamos de tubos sonoros, no entanto somente poderemos falar de tubos sonoros quando tivermos um tubo com uma extremidade aberta (chamado tubo fechado) ou com ambas abertas (chamado tubo aberto). Se ambas as extremidade forem fechadas, então NÃO temos um tubo sonoro.
ONDA ESTACIONÁRIA COM AMBAS AS EXTREMIDADES FIXAS
Seja o primeiro harmônico:
Primeiro Harmônico ou Harmônico fundamental.
Observe nós vemos apenas metade de uma onda, logo podemos dizer que o comprimento da onda aqui presenta é: $$L=\frac{\lambda_1}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_1 = 2\cdot L.$$
Vamos para o segundo harmônico:
Segundo Harmônico.
Note que agora o há exatamente um comprimento de onda dentro do tubo, com isso temos $$L=\lambda_2\Rightarrow$$ $$\lambda_2=L$$
Observe que agora no terceiro harmônico temos mais meio comprimento de onda dentro do tubo:
Terceiro Harmônico.
No terceiro harmônico temos: $$L=3\cdot \frac{\lambda_3}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_3=\frac{2L}{3}.$$
Se continuarmos com os demais estados estacionários vemos que o caso geral para o n-ésimo harmônico é $$\lambda_n=\frac{2L}{n}.$$
Vamos continuar com mais animações de estados estacionários.
Quarto Harmônico.
Quinto Harmônico.
Sexto Harmônico
Sétimo Harmônico.
Oitavo Harmônico.
Nono Harmônico.
Décimo Harmônico.
Se estivermos falando de uma onda numa corda, podemos usar a equação de Taylor, isto é:
$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$
$$\lambda_n\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$
$$\frac{2L}{n}\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$
| $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ |
Nos próximos casos, fica como exercício demonstrar tais relações, apresentadas a seguir. Alguns gifs estarão no corpo do texto para tentar auxiliar você a chegar nestas equações, mas os links no início do texto permite que você veja todos os harmônicos, basta clicar para exibir alguns gráficos.
Qualquer dúvida poste aí…
ONDA ESTACIONÁRIA COM AMBAS AS EXTREMIDADES LIVRES (OU TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES ABERTAS – CHAMADO TUBO ABERTO)
Alguns harmônicos:
Primeiro Harmônico.
Segundo Harmônico.
Terceiro Harmônico.
Quarto Harmônico.
Tente encontrar assim o seguinte padrão para o n-ésimo harmônico:
$$\lambda_n=\frac{2L}{n}$$
Décimo Harmônico.
O resultado é portanto igual ao anterior:
| $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ |
ONDA ESTACIONÁRIA COM UMA DAS EXTREMIDADES LIVRE E OUTRA FIXA (OU TUBO COM UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA – CHAMADO TUBO FECHADO)
Não fique esperando que neste último caso será igual… Na verdade, você verá (isso mesmo, tente desenhar num papel) que é possível colocar 1/4 de um comprimento de onda dentro do tubo, mas não 2/4, isto é, meio comprimento de onda. Você verá que somente um número ímpar de quarto de onda pode ser colocado dentro do tubo.
Faça os desenhos e tente verificar que
$$\lambda_n=\frac{4L}{n},\;\;n\;\;\text{ímpar}.$$
Veja as figuras e tente ver se verifica isto…
Primeiro Harmônico.
Terceiro Harmônico.
Quinto Harmônico.
Sétimo Harmônico.
Nono Harmônico.
Observe e conte quantos quartos do comprimento de onda aparece em cada caso. Apenas para ilustrar, veja a configuração do 19° harmônico:
Décimo nono Harmônico.
Com isso tudo podemos verificar que
| $$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n\;\;\text{ímpar}$$ |
RESUMINDO
- Cordas com duas extremidades fixas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$
- Cordas com ambas as extremidades livres: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$
- Cordas com uma extremidade livre e outra fixa: $$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;3,\;5,\;7,\;9…$$
Sendo F a força de tração na corda pela qual a onda percorre e a densidade linear da corda dada por $$\mu=\frac m L$$ sendo m a massa da corda e L o comprimento da corda. Note que consideramos que o comprimento da corda é L e que mesmo com a onda na corda o comprimento da onda não se altera. Isso porque a amplitude das ondas são pequenas, portanto todas as figuras anteriores estão muito exageradas…
Exercícios sugeridos
Abaixo uma lista de exercício mais geral sobre ondulatória para você praticar.
Bons estudos!
