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Nova lista de exercício – Teoria da relatividade restrita

Novas listas de exercícios disponíveis sobre teoria da relatividade restrita.

Aqui alguns exercícios sobre Teoria da Relatividade Restrita bem como um resumo sobre o assunto. As resoluções destas questões você pode baixar aqui.

Achou pouco? Aqui você pode baixar mais uma nova lista.

 

Abaixo você vê uma animação feita no desmos sobre simultaneidade.

Divita-se.

 

Link para editar no Desmos: https://www.desmos.com/calculator/ehutx0g2yl

Veja o vídeo abaixo se estiver melhor:

 




Colisão não elástica com o solo

Como motivação inicial, comecemos com um exercício:


Uma esfera é lançada horizontalmente de uma altura igual à 19,6 m num local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 m/s2 e colide de forma parcialmente elástica tal que e = 0,8. Construa o gráfico da velocidade versus tempo e da altura versus tempo.


Lembrando que o coeficiente de restituição, para uma colisão unidimensional, considerando o sinal da velocidade (isto é, as velocidades das partículas podem ser positivas ou negativas) é dado por:

$$e=\frac{v_B’-v_A’}{v_A-v_B}$$

Sendo vA a velocidade do corpo A antes da colisão, Sendo vB a velocidade do corpo B antes da colisão, Sendo vA‘ a velocidade do corpo A após a colisão e Sendo vB‘ a velocidade de b após a colisão, conforme desenho abaixo.

A velocidade possui sinal que depende do referencial. O esquema acima é somente ilustrativo, uma vez que após a colisão, a esfera A poderia estar indo para a direita, por exemplo, ou a B poderia se mover para a esuerda. O que importa é usar as duas equações: conservação da queantidade de movimento e conservação da quantidade de movimento.

Além da equação do coeficiente de restituição, precisamos escrever que a quantidade de movimento se conserva, isto é:

$$\Sigma Q_{inicio}=\Sigma Q_{final}\Rightarrow$$

$$Q_A+Q_B=Q_A’+Q_B’\Rightarrow$$

$$m_A\cdot v_A+m_B\cdot v_B=m_A\cdot v_A’+m_B\cdot v_B’$$

Tente resolver e verificar se esta simulação está legal.





 

Acesse o link abaixo para interagir.

https://www.glowscript.org/#/user/djkcond/folder/Mecanica/program/ColisaoComSolo

Animações em física

Este é uma postagem que parece um tanto quanto aleatória, porém a intenção é compartilhar TODAS  as animações que fiz no DESMOS.

Usando a calculadora gráfica deles, é possível fazer muitas e muitas animações, assim esta postagem é para compartilhar tudo o que venho feito.

Vamos lá…

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

 

 

ONDA COMO UMA SEQUÊNCIA DE MOVIMENTOS HÃRMÔNICOS

 

ACOPLAMENTO DE ENGRENAGENS

 

VELOCIDADE DE UMA ONDA EM FUNÇÃO DA PROFUNDIDADE

 

 

REFLEXÃO DE UMA ONDA CIRCULAR

 

 

SISTEMA MASSA MOLA

 

COLISÃO BIDIMENSIONAL

 

MÁQUINA DE ATWOOD

 

 

Possuo diversos outros materiais, mas que disponibilizarei conforme for melhorando-os.

 

Cone de Mach

  • Se uma fonte de ondas mecânicas viaja a uma velocidade superior às ondas produzidas, o conjunto de ondas produzidas permanecerão sempre dentro de um cone (caso tridimensional).
  • Este cone é chamado de cone de Mach.
  • A figura a seguir representa tal ideia.

Cone de Mach representando o ângulo de Mach θ e as distâncias percorridas pelo avião e pelo som.

dS: distância percorrida pela onda (som, por exemplo)

dA: distância percorrida pela fonte (avião, por exemplo)

θ: ângulo de Mach

  • Por geometria, temos:

$$\sin \theta=\frac{d_s}{d_A}$$

  • Note que se o ângulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipótese é bem razoável) então podemos determinar a velocidade do avião:

$$d_A  = {{d_S } \over {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta }}\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div \Delta t} {{d_A } \over {\Delta t}} = {{{{d_S } \over {\Delta t}}} \over {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta }} \Rightarrow $$

$$v_A  = {{v_S } \over {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta }}$$

  • Unidade mach:
    • É comum ouvir em filmes que a velocidade de um avião supersônico é mach 1, por exemplo. Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde à velocidade do avião. Por exemplo, mach n significa que a velocidade do avião é

$$v_{A}  = n \times v_{S} $$

  • Note como o ângulo se relaciona com a unidade mach:

$$v_A  = {{v_S } \over {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta }} \Rightarrow n \cdot v_S  = {{v_S } \over {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta }} \Rightarrow $$

$$n = {1 \over {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta }} \Leftrightarrow {\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta  = {1 \over n}$$

Observe a simulação a seguir. Acesse o link ao lado para interagir: https://www.desmos.com/calculator/9qaa4pa6fp

Movimento dos átomos – estrutura cristalina

Eis uma animação feita usando a biblioteca vpython disponível em http://www.glowscript.org/#/user/GlowScriptDemos/folder/Examples/program/AtomicSolid-VPython

Ondas estacionárias

Algumas animações sobre ondas estacionárias… Todas elas podem ser acessadas no Desmos, simulações estas que podem ser modificadas deliberadamente. Seguem os links:

Tubo com duas extremidades fechadas: https://www.desmos.com/calculator/furozafpzb

Tubo com ambas as extremidades abertas: https://www.desmos.com/calculator/hhpc9jfdbl

Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: https://www.desmos.com/calculator/grdqitedta

Seja um tubo de comprimento L. Vamos estudar cada um dos três casos, dando mais atenção às relações matemática que nos conceitos.

TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES FECHADAS

Seja o primeiro harmônico:

Primeiro Harmônico ou Harmônico fundamental.

Observe nós vemos apenas metade de uma onda, logo podemos dizer que o comprimento da onda aqui presenta é: $$L=\frac{\lambda_1}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_1 = 2\cdot L.$$

Vamos para o segundo harmônico:

Segundo Harmônico.

Note que agora o há exatamente um comprimento de onda dentro do tubo, com isso temos $$L=\lambda_2\Rightarrow$$ $$\lambda_2=L$$

Observe que agora no terceiro harmônico temos mais meio comprimento de onda dentro do tubo:

Terceiro Harmônico.

No terceiro harmônico temos: $$L=3\cdot \frac{\lambda_3}{2}\Rightarrow$$ $$\lambda_3=\frac{2L}{3}.$$

Se continuarmos com os demais estados estacionários vemos que o caso geral para o n-ésimo harmônico é $$\lambda_n=\frac{2L}{n}.$$

Vamos continuar com mais animações de estados estacionários.

Quarto Harmônico.

Quinto Harmônico.

Sexto Harmônico

Sétimo Harmônico.

Oitavo Harmônico.

Nono Harmônico.

Décimo Harmônico.

Se estivermos falando de uma onda numa corda, podemos usar a equação de Taylor, isto é:

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$\lambda_n\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$\frac{2L}{n}\cdot f_n=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\Rightarrow$$

$$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Nos próximos casos, fica como exercício demonstrar tais relações, apresentadas a seguir. Alguns gifs estarão no corpo do texto para tentar auxiliar você a chegar nestas equações, mas os links no início do texto permite que você veja todos os harmônicos, basta clicar para exibir alguns gráficos.

Qualquer dúvida poste aí…

TUBO COM AMBAS AS EXTREMIDADES ABERTAS

Alguns harmônicos:

Primeiro Harmônico.

Segundo Harmônico.

Terceiro Harmônico.

Quarto Harmônico.

Tente encontrar assim o seguinte padrão para o n-ésimo harmônico:

$$\lambda_n=\frac{2L}{n}$$

 

Décimo Harmônico.

O resultado é portanto igual ao anterior:

$$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

TUBO COM UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA

Não fique esperando que neste último caso será igual… Na verdade, você verá (isso mesmo, tente desenhar num papel) que é possível colocar 1/4 de um comprimento de onda dentro do tubo, mas não 2/4, isto é, meio comprimento de onda. Você verá que somente um número ímpar de quarto de onda pode ser colocado dentro do tubo.

Faça os desenhos e tente verificar que

$$\lambda_n=\frac{4L}{n},\;\;n\;\;\text{ímpar}.$$

Veja as figuras e tente ver se verifica isto…

Primeiro Harmônico.

Terceiro Harmônico.

Quinto Harmônico.

Sétimo Harmônico.

Nono Harmônico.

Observe e conte quantos quartos do comprimento de onda aparece em cada caso. Apenas para ilustrar, veja a configuração do 19° harmônico:

Décimo nono Harmônico.

Com isso tudo podemos verificar que

$$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n\;\;\text{ímpar}$$

RESUMINDO

  • Tubo com duas extremidades fechadas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$
  • Tubo com ambas as extremidades abertas: $$f_n=\frac{n}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;3,\;5,\;7,\;9…$$
  • Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada: $$f_n=\frac{n}{4L} \sqrt{\frac{F}{\mu}},\;\;n=1,\;2,\;3,\;4,\;5…$$

Sendo F a força de tração na corda pela qual a onda percorre e a densidade linear da corda dada por $$\mu=\frac m L$$ sendo m a massa da corda e L o comprimento da corda. Note que consideramos que o comprimento da corda é L e que mesmo com a onda na corda o comprimento da onda não se altera. Isso porque a amplitude das ondas são pequenas, portanto todas as figuras anteriores estão muito exageradas…

Exercícios sugeridos

TODOS da lista de exercícios disponível no seguinte endereço:

http://profevertonrangel.blogspot.com/2013/05/ondas-estacionarias.html

Bons estudos!

ENEM 2017 – Física

Em uma colisão frontal entre dois automóveis, a força que o cinto de segurança exerce sobre o tórax e abdômen do motorista pode causar lesões graves nos órgãos internos. Pensando na segurança do seu produto, um fabricante de automóveis realizou testes em cinco modelos diferentes de cinto. Os testes simularam uma colisão de 0,30 segundo de duração, e os bonecos que representavam os ocupantes foram equipados com acelerômetros. Esse equipamento registra o módulo da desaceleração do boneco em função do tempo. Os parâmetros como massa dos bonecos, dimensões dos cintos e velocidade imediatamente antes e após o impacto foram os mesmos para todos os testes. O resultado final obtido está no gráfico de aceleração por tempo.

Qual modelo de cinto oferece menor risco de lesão interna ao motorista?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5




FUVEST 1ª FASE – 2012

Uma fibra óptica é um guia de luz, flexível e transparente, cilíndrico, feito de sílica ou polímero, de diâmetro não muito maior que o de um fio de cabelo, usado para transmitir sinais luminosos a grandes distâncias, c perdas de intensidade. A fibra óptica é constituída de um núcleo, por onde a luz se propaga e de um revestimento, como esquematizado na figura (corte longitudinal).
Sendo o índice de refração do núcleo 1,60 e o do revestimento, 1,45, o menor valor do ângulo de incidência θ do feixe luminoso, para que toda a luz incidente permaneça no núcleo, é, aproximadamente:

a) 45°

b) 50°

c) 55°

d) 60°

e) 65°

 




Interferência de ondas (pulsos)

Pulso em uma onda

Imagine que você tenha uma corda e nela você produz um pulso, como na figura a seguir.

Falha no carregamento

Um pulso se propagando em uma corda esticada.

No outro extremo da corda você produz novo pulso, de amplitude diferente. Digamos, com uma amplitude três vezes maior:

Pulso produzido em uma corda e se propagando para a esquerda.

Observe a figura a seguir se você não se lembra o que é amplitude de uma onda onde mostramos duas “fotografias” dos dois pulsos e comparamos as suas amplitudes.

As duas ondas são representadas na figura: note que um dos pulsos (o que se propaga para a esquerda) possui amplitude três vezes maior que a outra (que se propaga para a direita).

Interferência construtiva

Agora imagine que ambos os pulsos sejam produzidos simultaneamente: um se propagando para a direita, de amplitude A e outro para a esquerda de amplitude 3A, o que teríamos? Basta ver a figura a seguir:

Observe que quando as ondas ocupam o mesmo local na corda elas se sobrepõem. No final é como se somássemos duas funções matemáticas.

Para melhorar a visualização, veja a figura a seguir onde demos uma pausa no exato instante em que emas se sobrepõem e, na figura logo abaixo, mostramos uma “fotografia” desse instante. Ou seja, quando as ondas se sobrepõem, no exato instante da sobreposição elas se somam, mas logo após esse encontro (que chamamos de interferência) cada uma segue seu caminho como se nada tivesse acontecido.

Somando dois pulsos dando uma parada no exato momento de interferência construtiva (quando ambas as amplitudes apontam para um mesmo lado).

As figuras a seguir mostram instantâneos (“fotografias”) antes, durante e depois a interferência ou sobreposição.

Figura representando instantâneo da onda sendo representadas as velocidades dos pulsos e as amplitudes.

Instantâneo da sobreposição dos pulsos.

Instantâneo das ondas após a sobreposição.

Note portanto que a amplitude resultante é a soma das amplitudes:

$$A_{resultante}=A_1+A_2$$

Em nosso caso:

$$A_{resultante}=A+3A=4A$$

Observe que isto é válido em TODOS os instantes, não apenas no instante em que as ondas se sobrepõem.

Interferência destrutiva

Agora, imagine que dois pulsos sejam produzidos em oposição de fase, isto é, um possui crista para cima (digamos, o que se propaga para a direita com amplitude A) e o outro com crista para baixo (em oposição, portanto, o que se desloca para a esquerda, de amplitude -3A). Note que vamos considerar que para cima é positivo, assim, observando as figuras abaixo, que são auto-explicativas, vemos que as ondas se sobrepõem e, no caso das ondas serem da mesma forma, a amplitude resultante será a soma das amplitudes.

$$A_{resultante}=A+(-3A)=-2A$$

Pulsos com oposição de fase se interferindo.

Pulsos de ondas interferindo destrutivamente: três instantâneos mostrando antes, depois e no exato instante de máxima sobreposição.

Interferência totalmente destrutiva

Se as duas ondas que sofrem interferência destrutiva tiverem amplitudes de mesmo módulos, porém opostas (uma para cima e outra para baixo) em algum instante a interferência será totalmente destrutiva, ou seja, em um instante a onda deixa de ser visível e o fio fica retilíneo como se nenhuma onda existisse nele.

Veja as duas próximas animações onde apresentamos ondas interferindo-se em “tempo real” (próxima figura) e com uma pausa no exato instante de interferência destrutiva (figura posterior).

Duas ondas de amplitudes de sobrepondo.

Observe que cada quadro da animação foi sendo mostrado mais lentamente com o intuito de mostrar que, em certo instante, a sobreposição das ondas tona-se nula.

Simulação

Nada como tentar fazer você mesmo(a). A seguir disponibilizo as simulações para vocês brincarem um pouco.

 

E agora, esta preparado(a) para fazer alguns exercícios? No comentário deste artigo tem alguns links para exercícios externos, mas tem uma listinha daqui, do professordanilo.com

Clique aqui para baixar.

Equação de Taylor e a velocidade de uma onda em uma corda

Já que estamos falando de um pulso em uma corda, qual seria então a velocidade com que este pulso se propaga na corda?

A resposta é dada pela equação de Taylor apresentada a seguir:

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Sendo a tração no fio, que no sistema internacional é medido em newtons (ou abreviadamente N). O outro termo, no denominador, é a densidade linear e se calcula dividindo a massa m do fio pelo seu comprimento L:

$$\mu=\frac m L$$

 





Campo Elétrico devido à uma carga puntiforme

Uma carga elétrica puntiforme de módulo |Q| produz um campo elétrico de módulo E a uma distância d da fonte (carga) dada por:

$$E=\frac{k|Q|}{d^2}.$$

No sistema internacional de Unidades, k é uma constante e proporcionalidade que vale

$$k=9\cdot 10^9 \rm \;N\cdot m^2/C^2.$$

Observe a simulação a seguir: nela, tocando ou clicando na tela, aparecerá uma seta cujo tamanho indica, de forma aproximadamente proporcional, o módulo do campo elétrico produzido por uma carga puntiforme (pequena, ou seja, do tamanho de um ponto). Para ter uma melhor noção espacial, com o uso do botão direito do mouse tocando e arrastando a tela, você pode ter uma visão de um outro ângulo do campo vetorial que você está criando. Tente você mesmo(a)!