3. Dada a equação de Laplace para o…

Dada a equação de Laplace para o potencial eletrostático em 2 dimensões, explique por que ela não admite soluções estáveis.

Usando um argumentos puramente físicos:

$$\nabla^2\phi=0\Leftrightarrow \vec \nabla \cdot \vec E = 0$$

Isto é, estamos estudando pontos do espaço onde não existem cargas. Assim, seja um distribuição discreta de $n$ cargas cada uma com carga $q_i$. Analisando duas a duas, por exemplo, as cargas $q_i$ e $q_j$, elas nunca poderão estar em equilíbrio, pois se repelirão se tiverem mesmo sinal ou se afastarão se forem de sinais opostos (lembre-se de que estamos estudando estas cargas duas a duas).

Para melhorar este argumento: vamos imaginar o espaço vazio e nele colocamos uma carga $q_1$; quando colocamos uma segunda carga $q_2$ não existirá posição de equilíbrio estável; colocando agora $q_3$, também não haverá posição de equilíbrio estável, e assim por diante.

 

OBS: na verdade, não respondi ainda de forma satisfatória esta questão. Pensei, por exemplo, em duas cargas com mesma carga. A linha que conecta ambas as cargas não teria um potencial mínimo em seu ponto médio? Isso não contraria não haver pontos de mínimo ou máximo? Onde está o erro?


2 ideias sobre “3. Dada a equação de Laplace para o…

  1. Eu entendi seu ponto de vista Danilo, mas acho q vc está pensando em um espaço tridimensional e ai sim talvez seja possível obter um potencial mínimo. Mas o problema é explicar porque o laplaciano do potencial em duas dimensões não é estável. Dei uma olhada no Griffths e ele diz que neste caso o espaço seria plano e não haveria em nenhum ponto um mínimo. Seria isso a instabilidade??

    • Na verdade estou meio confuso com esta questão. Ao pensar em potencial como o potencial de uma carga, acho que inevitavelmente estou pensando em três dimensões.
      Acho que quando falamos de espaço plano, estamos considerando um sistema nem instável nem estável, assim mesmo um potencial constante não viola a propriedade da equação de Laplace de não ter mínimos, uma vez que ela não tem máximos nem mínimos.

      Pra falar a verdade, estou com dificuldades nesta questão.

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