Em geral, temos duas fórmulas para calcular a força gravitacional:
$$P=mg$$
e
$$F=\frac{GMm}{d^2}$$
Mas quais as diferenças e semelhanças entre elas? Na verdade, ambas são totalmente equivalentes, pois se considerarmos uma região próxima à da Terra, podemos assumir que a gravidade é constante, assim, igualando as duas forças (pois são uma única força), temos:
$$mg=\frac{GMm}{d^2}\Rightarrow g=\frac{GM}{d^2}$$
Se $d$ for o raio da Terra, temos o valor da gravidade na superfície do planeta.
Mas para deixar esta ligação entre o que vemos quando estudamos fenômenos na superfície da Terra e a Gravitação Universal, vamos tomar o seguinte exemplo: usando as equações da gravitação universal determine a equação da variação da energia potencial de um corpo na superfície da Terra ao ser levado de um ponto à outro sendo este último à uma altura $h$ acima do primeiro. Assuma que esta altura é muito menor que o raio da Terra.
Lembrando que a energia potencial gravitacional na gravitação universal é dada por:
$$U=-\frac{GMm}{d}$$
a variação, ao ir do ponto mais baixo para o mais alto, será:
$$\Delta U=-\frac{GMm}{R+h}-\left(-\frac{GMm}{R}\right)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)\Rightarrow$$
$$\Delta U=GMm\left(\frac{R+h-R}{R(R+h)}\right)=GMm\left(\frac{h}{R(R+h)}\right)$$
Temos agora um resultado interessante, pois $R+h\approx R$ pois $h<<R$. Além disso vimos que
$$g=\frac{GM}{R^2}$$
na superfície da Terra. Portanto:
$$\Delta U\approx GMm\left(\frac{h}{R^2)}\right)$$
Ou seja:
$$\Delta U\approx mgh$$